Anillo de Artinian pregunta

Question

Que $k$ un campo y $R$ el anillo exterior $k^d $, que es, $k$-álgebra generada por elementos $$x_1,\ldots,x_d,$ $ donde $$\ x_ix_j= - x_jx_i?$ $

¿Es $R$ Artinian?

Answer 1

Ampliar ḧint de Pedro:

La observación clave es que tu $R$ es un espacio del finito dimensional $k$-vector, y cada uno de sus ideales de izquierda es un subespacio vectorial.

Ahora consideremos una cadena decreciente de izquierda ideales en $R$... ¿En particular es una cadena decreciente de subespacios de un espacio dimensional finito del vector: no se puede detener?

Answer 2

En realidad, no estoy seguro la pregunta es verdadera como si indicado $1 = -1$ $k$!

Si $2$ es invertible, entonces consigue $x_i^2=0$ % todos $i$. Como se sugirió en los comentarios y la respuesta de Mariano, el punto clave es $R$ tiene dimensión finita como un espacio de $k$-vector. Puesto que los monomios palmo $R$, desea que muchos de ellos a desaparecer. Por ejemplo:

$$x_1x_2x_1 = -x_1x_1x_2= -x_1^2x_2 = 0$$