Sí.
Tenemos el siguiente teorema:
Dejemos que $f \in \text{BMO}(\mathbb R^n)$ . Entonces, para cualquier $\epsilon > 0$ existe una bola $B$ con centro $x_0$ y el radio $R$ tal que
$$R^\epsilon \int_{\mathbb R^n} \frac{|f(x) - \text{Avg}_B f|}{(R + |x - x_0|)^{n + \epsilon}} \, dx \leq C \|f\|_\text{BMO}$$ donde $C$ sólo depende de $n$ y $\epsilon$ . (esto es sólo una estimación)
Así que de este teorema podemos deducir que cualquier $\text{BMO}$ -La secuencia de Cauchy es Cauchy en $L^1$ en todo conjunto compacto. De esto podemos deducir que toda secuencia de Cauchy converge.
Edición: (Una ligera ampliación) Mis disculpas por el retraso de dos años. Primera observación: el $\text{BMO}$ es en realidad una seminorma, es decir $\|x\| = 0$ no sólo se produce cuando $x = 0$ pero en realidad para todas las constantes. Esto debería ser obvio, si no es así, será mejor que vayas a consultar un libro de teoría de la integración. Definamos una relación de equivalencia en este espacio con el fin de convertirlo en un verdadero espacio normado. Es decir, dejemos que $f \sim g$ si y sólo si $f - g$ es una constante. Si ahora hacemos el espacio cociente $\text{BMO}/\{1\}$ este es un espacio normado y el mapa que envía cada función a su clase de equivalencia es continuo. Además, tenemos una norma en este espacio $\|[f]\| = \inf_{c \in \mathbf{R}} \|f + c\|$ . Si queremos demostrar la completitud, tendríamos que cocinar una función a la que converja una secuencia de Cauchy. Eso apesta, así que no hagamos eso sino que usemos un corolario.
Teorema: Dejemos que $X$ sea un espacio normado y sea $(x_n)$ sea una secuencia en $X$ tal que $$\sum_n \|x_n\|$$ converge. Entonces $X$ es un espacio de Banach si y sólo si $$\sum x_n$$ converge en la norma.
Genial. Usemos esto. En primer lugar, hay que señalar que la norma inducida da para todas las funciones no constantes la normal $\text{BMO}$ seminorma y para las constantes sólo la constante. Como las secuencias constantes son bastante aburridas y ciertamente convergentes, también podríamos no preocuparnos por las secuencias que son "eventualmente constantes". Así que consideremos las funciones $g_n = f_n - \langle f_n \rangle$ como los importantes. Esto es genial, ¿verdad? Toma una secuencia $(g_n)$ de tales funciones que la suma anterior converge. Ahora dejemos que $B$ sea una bola cerrada de radio $R$ y el centro $x_0$ . Entonces tenemos, $$R^\epsilon \int_{B} \frac{|g_n(x)|}{(R + |x - x_0|)^{n + \epsilon}} \, dx \lesssim \|g_n [B]\|_\text{BMO} \lesssim \|g_n\|_\text{BMO}.$$ Esto significa que tenemos para todos $\epsilon > 0$ hay $R > 0$ y un $x_0$ tal que $$R^\epsilon \sum_n \int_{B} \frac{|g_n(x)|}{(R + |x - x_0|)^{n + \epsilon}} \, dx$$ converge. Ahora, observe que $R \leqslant R + |x - x_0| \leqslant 2R$ por lo tanto, obtenemos que $$\frac1{R^d} \sum_n \|g_n\|_{L^1(B)}$$ converge y así también $g_n$ converge en $L^1(B)$ a una función $g_B$ . Ahora puede temer que estos $g_B$ puede ser muy diferente para diferentes $B$ pero no que si se amplía el $B$ El " $g$ " debe coincidir al menos en la intersección de las bolas.
Observación: Ahora estoy demasiado cansado, editaré más tarde. Pero ahora la idea sería utilizar este límite para cada $B_k$ y elegir una buena secuencia de $B_k$ 's. Si la secuencia BMO convergiera se esperaría que el límite fuera el mismo que el $L^1$ versión (si estuviera restringida). Mi idea sería descomponer $\mathbf{R}^d)$ en una secuencia de conchas. Se comienza con $B$ y hazlo estallar dos veces. Hazlo de nuevo con la nueva bola y así sucesivamente. Luego haz una secuencia disjunta y construye tu $g$ de una suma de indicadores de estas cáscaras y luego se multiplica por la función que se obtiene del $L^1(B_n)$ . Demuestra que esto es en BMO y que es el límite que quieres. Saludos.
