¿El producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$ ¿inducen otras normas además de la norma 2?

Question

En la conferencia mi profesor escribió que el producto interno estándar en $R^n$ viene dada por

$\langle x, y \rangle = x^Ty = \sum\limits_{i=1}^n x_i y_i$

que induce una norma $\sqrt{\langle x,x \rangle} = \|x\|_2$

Mi pregunta es si los productos internos inducen otros tipos de normas... o más bien si las normas como la norma 1 o la $\infty$ -¿Induce la norma por algún producto interno?

Answer 1

Esta es una pregunta realmente interesante, y aquí hay una respuesta parcial. El $1$ y $\infty$ las normas no provienen de los productos internos. El hecho de que una norma tenga un producto interno asociado le da mucha estructura. Por ejemplo (si los escalares son reales por conveniencia), $$\left\| x - y \right\|^2 = \langle x - y, x -y \rangle = \langle x, x \rangle - 2 \langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle = \left\|x \right\|^2 - 2 \langle x, y \rangle + \left\| y \right\|^2$$ De hecho, resulta que existe una identidad llamada ley del paralelogramo $$2 \left\|x\right\|^2 + 2\left\|y\right\|^2 = \left\|x + y \right\| + \left\| x - y\right\|$$ Una norma obedece a esta identidad si tiene un producto interno asociado. Se puede verificar que la $1$ y $\infty$ no obedecen esta identidad (al encontrar ejemplos), y por lo tanto no pueden tener un producto interno. De hecho, el $p$ -normas sobre $\mathbb{R}^n$ sólo obedecen a esta identidad cuando $p=2$ .

Gracias a los comentarios por algunas adiciones. Para una prueba de la afirmación "si", véase esta pregunta relacionada . Si se tiene una norma que obedece a la ley del paralelogramo, se puede expresar el producto interior directamente en términos de la norma mediante (de nuevo el caso real por conveniencia) $$\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \left( \left\| x + y \right\|^2 - \left\| x - y \right\|^2 \right)$$ Ver aquí para más información.

Answer 2

Todo producto interno sobre $\mathbb{R}^n$ puede escribirse como $\langle x, y \rangle = x^t A y$ , donde $A$ es una matriz (simétrica) positiva definida. Estas matrices pueden ser diagonalizadas ortogonalmente, es decir, existe una matriz ortogonal $M$ para que $A = M^t \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) M$ . Esto significa, en particular $\langle x, y \rangle = (Mx)^t \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) (Mx)$ .

Ahora, observe que las bolas abiertas con respecto al producto interior $\langle x, y \rangle = x^t \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) y$ son elipsoides y el mapa $x \mapsto Mx$ es esencialmente la composición de reflexiones y rotaciones [por supuesto, esto sólo se puede visualizar para $n \le 3$ ]. Así que las bolas abiertas de un producto interior arbitrario en $\mathbb{R}^n$ son elipsoides girados y reflejados.