Presheaves y functors del adjoint

Question

Estoy leyendo acerca de la Gavilla de la Teoría desde el punto de vista de las categorías y tengo la siguiente pregunta:

Supongamos que tenemos dos categorías pequeñas $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2$ $\alpha:\mathcal{C}_2\to \mathcal{C}_1$ un functor que admite una izquierda adjoint $\beta:\mathcal{C}_1\to \mathcal{C}_2$.

Ahora si $F:\mathcal{C}^o_1\to \mathbf{Set}$ es un functor (presheaf) en $\mathcal{C}_1$ tomando valores en la categoría de conjuntos (aquí $\mathcal{C}^o_1$ es el opuesto de la categoría), entonces podemos usar $\alpha$ definir $\alpha_* F:=F\alpha^o:\mathcal{C}^o_2 \to \mathbf{Set}$.

Entonces tenemos un functor $\alpha_*:\mathbf{Fun}(\mathcal{C}^o_1,\mathbf{Set})\to \mathbf{Fun}(\mathcal{C}^o_2,\mathbf{Set})$

Pregunta: ¿Es cierto que $\alpha_*$ admite un adjunto a la izquierda?

Supongo que la respuesta debe ser SÍ mediante el uso de alguna manera el functor $\beta_*:\mathbf{Fun}(\mathcal{C}^o_2,\mathbf{Set})\to \mathbf{Fun}(\mathcal{C}^o_1,\mathbf{Set})$ se define de la misma manera.

Con el fin de demostrar que necesitamos para poder establecer un isomorfismo para cada $F\in \mathbf{Fun}(\mathcal{C}^o_1,\mathbf{Set})$$G\in \mathbf{Fun}(\mathcal{C}^o_2,\mathbf{Set})$:

$$\mathbf{Nat}(\beta_*G,F) \cong \mathbf{Nat}(G,\alpha_* F)$$

Pero no sé cómo hacerlo de una manera natural. Primero de todo, he intentado asociar a una transformación natural $\varphi:G\to \alpha_* F$ otro $\psi:\beta_* G\to F$, pero no veo cómo hacerlo. En segundo lugar, he mirado este hilo: Cómo mostrar dos functors formulario de la contigüidad , pero no entiendo cómo se va a crear en este caso la unidad y counit.

Gracias de antemano por su ayuda o referencias.

Answer 1

Si $\alpha : C_2 \to C_1$ es cualquier functor entre categorías pequeñas, a continuación, $\alpha_* : \widehat{C_1} \to \widehat{C_2}$ ha dejado adjoint $\alpha^*$. Esto puede ser visto directamente de Freyd del Functor Adjunto Teorema. Explícitamente, la izquierda adjunto mapas de un presheaf $G \in \widehat{C_2}$ a la izquierda Kan extensión de $G : C_2^{op} \to \mathsf{Set}$ a lo largo de $\alpha^{op}$, es decir,$\alpha^*(G)(x)=\mathrm{colim}_{x \to \alpha(y)} G(y)$.

Observe que $\alpha^*$ no puede ser de la forma $\beta_*$ desde $\beta_*$ es continua, sino $\alpha^*$ no suele ser continua.

Ejemplo. Deje $f : X \to Y$ ser un mapa continuo de espacios topológicos. Entonces tenemos un functor $\alpha : \mathrm{Open}(Y) \to \mathrm{Open}(X)$, $V \mapsto f^{-1}(V)$, por lo tanto $\alpha_* = f_* : \mathrm{PSh}(X) \to \mathrm{PSh}(Y)$ (pushforward de presheaves) dado por $(f_* F)(V)=F(f^{-1}(V))$ con la izquierda adjoint $\alpha^* = f^* : \mathrm{PSh}(Y) \to \mathrm{PSh}(X)$ (pullback de presheaves) dado por $f^*(G)(U) = \mathrm{colim}_{f(U) \subseteq V} G(V)$.