Deje $G$ ser un no-abelian finito grupo. La clase fórmula afirma que
$|G|=|Z(G)| + \sum_i |Cl_G(x_i)|$ donde $Cl_G(x_i)$ es la clase conjugacy de ciertos no-central $x_i$. Ahora observo dos cosas:
(1) $|G/Z(G)|$ no puede ser $1, 2$ o $3$. Por qué? Porque si $G/Z(G)$ es cíclica y, a continuación, $G$ debe ser abelian (teoría del grupo de folklore!)
(2) $|Cl_G(x_i)|$ no puede ser igual a $1$, porque si lo fuera, a continuación, $x_i \in Z(G)$ y en la clase fórmula que ya han contado con la contribución del centro de $G$.
Entonces, ¿qué podemos aprender de estas dos observaciones? De (1): $|G/Z(G) \geq 4$, por lo $|G| \geq 4|Z(G)|$. Y a partir de (2): $|Cl_G(x_i)| \geq 2$.
Ahora vamos a combinar estos dos hechos en la clase fórmula:
$|G| \geq |Z(G)| + (c(G)-|Z(G)|).2= 2c(G)-|Z(G)|\geq2c(G)-\frac{1}{4}|G|$. De esto se sigue que $c(G)\leq\frac{5}{8}|G|$.
Puede esta obligado a ser alcanzado? Sí, eche un vistazo a $G=Q$, los cuaterniones grupo de orden 8.
Para su pregunta (c) intentar hacer lo mismo que el anterior, pero entonces usted sabe que hay una clase conjugacy $|Cl_G(x_i)| \geq p$. Para las otras clases conjugacy usted todavía necesita tomar $2$ como mínimo estimación de cardinalidad.
Bono de observación 1. También hay un límite inferior en el número de clases conjugacy $c(G)$. Tenga en cuenta que si $x \in G-Z(G)$, $Z(G) \subsetneq C_G(x)$ donde $C_G(x)$ es el centralizador de $x$$G$. Podemos concluir que no son elementos centrales $x$,$|C_G(x)|\geq 2|Z(G)|$, o, equivalentemente,$|Cl_G(x)| \leq \frac{|G|}{2|Z(G)|}$. Y, por lo tanto, trabajar con la clase fórmula de nuevo
$|G| \leq |Z(G)| + (c(G) - |Z(G)|).\frac{|G|}{2|Z(G)|} = |Z(G)| + \frac{|G|c(G)}{2|Z(G)|} - \frac{1}{2}|G|$. Por lo tanto $\frac{3}{2}|G| \leq |Z(G)| + \frac{|G|c(G)}{2|Z(G)|} \leq \frac{1}{4}|G| + \frac{|G|c(G)}{2|Z(G)|}$ y la elaboración de un poco más de este se obtiene el límite inferior
$c(G) \geq 2\frac{1}{2}|Z(G)|$.
Tenga en cuenta que también esta obligado es fuerte, de nuevo tome $G$ a ser el quaternion grupo de orden 8.
Bono de observación 2. Tratamos de demostrar que si $G$ es un no-abelian grupo de los impares para, a continuación, aun $c(G)\leq\frac{11}{27}|G|$.
Bono de observación 3. Si $G$ es un no-abelian $p$ -,$c(G)\leq\frac{p^2+p-1}{p^3}|G|$. El obligado es fuerte por el camino y es alcanzado por los llamados extra-especial $p$-grupos.
