¿Por qué necesitamos una rama cortada para $\int_0^{\infty} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)^2}}dx$ ?

Question

¿Cuál es el significado de la $x^{\frac{1}{2}}$ en el numerador de esta integral. He leído que este tipo de integral requiere tomar un corte de rama. ¿Por qué necesitamos un corte de rama, qué nos permite hacer? ¿Qué ocurre si no lo hacemos?

$$\int_0^{\infty} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)^2}}dx$$

Además, el polo de este problema se encuentra en el eje real, por lo que podemos utilizar el método de "un semicírculo $C_R$ y unidas en sus extremos por una línea sobre el eje real $C_L$ ...Entonces, ¿qué método utilizamos para dicha integral?

Answer 1

La razón por la que necesitamos un corte de rama es porque necesitamos que su integral sea de valor único. Sea $\sqrt{x}\mapsto\sqrt{z}$ donde $z = re^{i\theta}$ . Ahora si rodeamos el punto de ramificación $z = 0$ por $2\pi$ obtenemos $$ \sqrt{r}e^{(i\theta + 2\pi i)/2} = \sqrt{r}e^{i\theta/2}e^{i\pi} = -\sqrt{r}e^{i\theta/2} $$ cuando empezamos en $\sqrt{r}e^{i\theta/2}$ por lo tanto, la raíz cuadrada de $z$ es de valor múltiple y necesitamos definir un corte de rama para mantenerlo de valor único. He aquí el contorno de un ojo de cerradura.

Ahora el polo de orden dos en $z = -1$ está encerrado en nuestro contorno. Sea $f(z) = \frac{\sqrt{z}}{(1 + z)^2}$ . Entonces \begin{align} \int_0^{\infty}f(z)dz &= \int_{\gamma}f(z)dz + \int_{\Gamma}f(z)dz + \int_{\text{upper line}}f(z)dz + \int_{\text{lower line}}f(z)dz\\ &= \frac{1}{2}\int_0^{\infty}f(z)dz + \frac{1}{2}\int_{\infty}^0-f(z)dz \end{align} Por el lema de estimación, la primera integral llega a cero cuando $\gamma\to 0$ y la segunda integral llega a cero cuando $\Gamma\to\infty$ . Ahora tenemos que las dos integrales finales son $2\pi i\sum\text{Res}$ . Así, $$ \int_0^{\infty}f(z)dz = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $$

Answer 2

En mi opinión, es prematuro hablar de recortes de ramas en relación con su integral. A estas alturas todavía estás trabajando con números reales, y es muy posible que puedas resolver esta integral sin tener que utilizar el plano complejo.

Está claro que el primer paso para resolver la integral es deshacerse del inconveniente $\sqrt{x}$ término. Esto puede hacerse más fácilmente cambiando las variables de $x$ à $t = \sqrt{x}$ . Así que pongamos $x = t^2$ .

Obsérvese que los polos del denominador se sitúan ahora en $t = +i$ y $t = -i$ . Además, el integrando es una función par de $t$ por lo que puede ampliar el intervalo de integración a $(-\infty, \infty)$ y utilizar la integración de contornos.

Pero no creo que sea necesario. Usted puede hacer otra sustitución: $t = \tan(s)$ . De esta forma te puedes librar completamente del denominador, y te queda una integral de $0$ à $\pi/2$ de una función real que es simplemente el producto de unos cuantos cosenos y senos.