¿Cómo demostrar que un sistema lineal es * no * punto de partida gratis?

Question

Asumir que tengo una línea de paquete de $\mathcal{L}$ en un proyectiva, nonsingular variedad $X$ más de, digamos, un algebraicamente cerrado de campo (de hecho, puede suponer $\mathbb{C}$). Dado global secciones $s_0,\ldots,s_k\in\mathcal{L}(X)$, como para demostrar que ellos no generar $\mathcal{L}$ a nivel mundial?

Me gustaría pensar que esto se hace mejor por la contradicción, pero no puedo pensar en cualquiera de los teoremas que se basan en la suposición de que una línea de paquete a nivel mundial es generado por determinadas secciones. Tenga en cuenta que $\mathcal{L}$ puede muy bien ser generado a nivel mundial (de hecho, en mi caso, ciertamente lo es), pero quiero demostrar que ciertas secciones no se generan a nivel mundial. Así, lo que yo soy, básicamente, son los resultados que incluyen una base de punto libre de los sistemas lineales en sus suposiciones, así que puede utilizar para producir una contradicción. Mi primer impule fue considerar a la inducida por morfismos $\phi:X\to\mathbb{P}^k$, pero que ya se donde me quedo atascado.

Si ayuda, el caso de $X=\mathbb{P}^n$ $\mathcal{L}=\mathcal{O}_X(1)$ ya es interesante para mí, pero me gustaría (por supuesto) será mejor si la estrategia funciona, incluso en el más general de la configuración.

Answer 1

1) Vamos a analizar la situación de $X=\mathbb P(V)=\mathbb P(k^{n+1})$$\mathcal L=\mathcal O_{X}(1)$ .
Las secciones del espacio vectorial $\Gamma(X,\mathcal L)=V^*$ generar la línea de paquete de $\mathcal L$ .
Sin embargo, tengo la afirmación de que las secciones de cualquier estricto subespacio $H\subsetneq \Gamma(X,\mathcal L)=V^*$ do no generar $\mathcal L$.
En efecto , podemos suponer que la $H\subsetneq V^*$ es un hyperplane.
Se compone de los lineales de las formas $a_0x_0+...+a_nx_n \in V^*$ satisfacción $p_0a_0+...+p_na_n=0$ algunos $(p_0,\cdots,p_n)\neq 0\in V$ .
Entonces es tautológica de que todas las secciones $s\in H$ desaparecen en $(p_0:\cdots:p_n)\in X$.

r) Vamos a analizar la situación de $X=\mathbb P(V)=\mathbb P(k^{n+1})$ $\mathcal L^r=\mathcal O_{X}(r)\quad (r\geq 2)$
Yo pretensión de que existe una hyperplane $H\subsetneq \Gamma(X,\mathcal L^r)=S^r(V^*)=(k[x_0,\cdots,x_n])_r$ cuyas secciones sigue generando $\mathcal L^r$.
Un hyperplane $H_p\subsetneq (k[x_0,\cdots,x_n])_r$ se compone de los polinomios homogéneos $\Sigma_{|I|=r}a_Ix^I\in (k[x_0,\cdots,x_n])_r$ grado $r$ la satisfacción de la relación $\Sigma_{|I|=r}p_Ia_I=0$ para algunos fijos de la familia $p=(p_I)_{|I|=r}\in \mathbb P^N=\mathbb P(S^rV)$.

Dado un punto arbitrario $b=(b_0:\cdots :b_n)\in \mathbb P^n$, se debe demostrar que existe una familia de $(a_I)_{|I|=r}$ tal que $\Sigma_{|I|=r}p_Ia_I=0$ pero $\Sigma_{|I|=r}a_Ib^I\neq 0$: el hecho de que la familia va a definir una sección $s=\Sigma a_Ix^I\in H_p$ no de fuga en $b$.

Para eso basta con retirar $p\in \mathbb P^N \setminus v(\mathbb P^n)$, es decir, fuera de la imagen de la Veronese incrustación $$v=v_r:\mathbb P^n=\mathbb P(V)\to \mathbb P^N=\mathbb P(S^rV):(c_0:\cdots:c_n)\mapsto (\cdots:c^I:\cdots)\quad (|I|=r)$$