¿Existe un cambio de variables que permita calcular $\int_0^\pi \frac{1}{4-3\cos^2 x}\, \mathrm dx$ ¿evitar las impropiedades?

Question

Estoy tratando de evaluar esta integral: $$\int_0^\pi \frac{1}{4-3\cos^2 x}\, \mathrm dx$$

Es evidente que se trata de una integral de Riemann estándar (sin impropiedades)

PERO

El clásico $\tan x=t$ cambios de variables introduce 2 impropiedades: ( $x=(\pi/2)^-$ y $x=(\pi/2)^+$ ).

La otra posibilidad es $\tan(x/2)=t$ pero este cambio introduce una impropiedad en $x=\pi$ .

Entonces, mi pregunta es:

¿Existe algún cambio de variables (o método integral) que permita calcular esta integral evitando impropiedades? Es decir, sólo utilizando integrales de Riemann estándar.

Answer 1

Un enfoque sería expresar el integrando como $$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2-\sqrt{3}\cos x} +\frac{1}{2+\sqrt{3}\cos x} \right) $$ y a continuación se observa que la integral sobre $[0,\pi]$ para ambos integrados son iguales, de modo que la integral original es igual a $$\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{2+\sqrt{3}\cos x} $$ A continuación ponemos una sustitución muy poco obvia $$(2+\sqrt{3}\cos x) (2-\sqrt{3}\cos y) = 1$$ para reducir la integral a $$\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}dy=\frac{\pi}{2}$$ En general, si $a>|b|$ entonces la sustitución $$(a+b\cos x) (a-b\cos y) =a^{2}-b^{2}$$ se obtienen las ecuaciones $$\sin x=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}\sin y} {a-b\cos y}, \, \frac{dx} {a+b\cos x} = \frac{dy} {\sqrt{a^{2}-b^{2}}}$$ para que $$\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{a+b\cos x} =\frac{\pi} {\sqrt{a^{2}-b^{2}}}$$ Una vez más, la sustitución anterior viene directamente del problema no $4$ , página $266$ de Hardy Un curso de matemáticas puras , 10ª edición.

Answer 2

Para evitar las integrales impropias de la sustitución de medio ángulo

$$\int_0^\pi \frac{1}{4-3\cos^2 x}\, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{4-3\cos^2 x}\, dx +\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{4-3\sin^2 x}\, dx $$

A continuación, evalúe cada una de ellas mediante $t = \tan(x/2)$

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \int_{0}^{\pi}{\dd x \over 4 - 3\cos^{2}\pars{x}} & = \int_{0}^{\pi/2}{\dd x \over 4 - 3\cos^{2}\pars{x}} + \int_{\pi/2}^{\pi}{\dd x \over 4 - 3\cos^{2}\pars{x}} \\[5mm] &= 2\int_{0}^{\pi/2}{\dd x \over 4 - 3\cos^{2}\pars{x}} = 2\int_{0}^{\pi/2}{\sec^{2}\pars{x}\,\dd x \over 4\sec^{2}\pars{x} - 3} \\[5mm] & = \int_{0}^{\pi/2}{2\sec^{2}\pars{x}\,\dd x \over 4\tan^{2}\pars{x} + 1} \\[5mm] & \stackrel{t\ \equiv\ 2\tan\pars{x}}{=}\,\,\, \int_{0}^{\infty}{\dd t \over t^{2} + 1} = \bbx{\ds{\pi \over 2}} \end{align}