Asignación de números naturales en el espacio prime-exponentes

Question

Tomar cualquier número natural $n$, y el factor como $n=2^{e_1} 3^{e_2} 5^{e_3} ... p^{e_i}$, donde $i$ $i$- ésimo primo. Ahora map $n$ hasta el punto de $n \mapsto (e_1,e_2,\ldots,e_i,0,\ldots)$ donde $i$ es el último prime en la factorización de $n$. Por ejemplo, $$n=123456789 \mapsto (0,2,\ldots,1,\ldots,1,\ldots)$$ debido a $123456789=2^0 3^2 \cdots 3607^1 \cdots 3803^1$. Así que cada número en $\mathbb{N}$ es asignado a un punto en un alto de manera arbitraria el espacio tridimensional. Esta asignación tiene la propiedad de que la suma de los vectores corresponde a la multiplicación de la de los números.

Mi (muy vagos!) la pregunta es: ¿este punto de vista ayuda a ganar a cualquier perspectiva en el estructura y propiedades de los números naturales? Línea/planos/curvas en este espacio marcar numéricamente regiones interesantes? Tal vez permitiendo real o números complejos? Los números en $\mathbb{N}$ llenar este infinito-dimensional espacio muy escasamente.

Esto es (muy!) lejos de mi investigación de la experiencia, por lo que cualquier comentario/referencias/enlaces se agradece.

Answer 1

En la teoría algebraica de números tales anillos de valoración de vectores o adèles o vuelven a crear las particiones jugar un papel clave en el mundo estructuración de la información local para el estudio global de los campos de número. En particular, las propiedades topológicas de tales adèle anillos implica resultados fundamentales en la teoría algebraica de números, tales como la estructura de la unidad de los grupos, la finitud de la clase número, diferentes resultados en la fundación de la de Riemann-Roch teorema, etc. Por ejemplo, ver a Tate por debajo de revisión de un documento por parte de Iwasawa (esp. el penúltimo párrafo).

MR0053970 (14,849 a) 10.0 X
Iwasawa, Maestro Kenkichi. En los anillos de valoración de los vectores. Ann. de Matemáticas. (2) 57, (1953). 331--356.

Deje $K$ ser finito algebraicas campo de número o una expresión algebraica de la función de campo de una variable a lo largo de un número finito de campo constante. El anillo de $R$ de la valoración de los vectores más de $K$ tiene las siguientes propiedades: (1) $R$ es un semi-simple anillo conmutativo con elemento unidad 1; (2) $R$ es localmente compacto, pero ni compacto ni discretos; (3) $R$ tiene un subcampo $K$ conteniendo 1, tal que $K$ es discreta en el $R$ y el resto de la clase el espacio $R/K$ es compacto.

En la primera mitad de su trabajo, la autora demuestra por el contrario que cualquier topológico anillo de tener estas propiedades es el anillo de valoración de los vectores sobre un campo $K$ del tipo descrito anteriormente. La principal herramienta utilizada es la noción de la norma $N(\sigma,G)$ de un automorphism $\sigma$ de un localmente compacto grupo de $G$, que es el factor por el cual la medida de Haar en $G$ se extendía por $\sigma$. Es multiplicativo en $\sigma$; $N(\sigma,G)=N(\sigma,H)N(\sigma,G/H)$ si $\sigma H\subset H$; y $N(\sigma,G)=1$ si $G$ es compacto o discreta. Si $F$ es un nondiscrete localmente compacto campo, entonces la función de $N(\alpha,F)$ $\alpha\in F^\ast$ da la "normativa" de la valoración de $F$. La intersección de todos los cerrados máxima ideales $M$ $R$ 0, $N(x,R)=\prod_MN(x,R/M)$ regular $x\in R$. En particular, si $\xi\in K^\ast$, luego de (3), $N(\xi,R)=1$, de modo que las valoraciones $N(\xi,R/M)$ $K$ satisfacer la `fórmula del producto." De esto se sigue más o menos conocidos métodos que $K$ es una media aritmética de campo y $R$ de su valoración de vector de anillo. La siguiente sección contiene una prueba de que la valoración de vector de anillos de hacer disfrutar de las propiedades (1), (2) y (3).

Finalmente, el autor muestra que los dos teoremas de la teoría algebraica de números puede ser probado directamente de las propiedades topológicas de $R$. El primero de estos es el auto-dualidad de $R$ con respecto al $K$, en el que el análogo de la de Riemann-Roch teorema de los campos de número de restos. Si $\chi$ es no trivial aditivo carácter de $R$ de fuga en $K$, entonces el mapa de $x\rightarrow\chi(xy)$ es un isomorfismo de $R$ en su carácter de grupo, y $\chi(x\xi)=1$ todos los $\xi\in K$ si y sólo si $x\in K$. El paso esencial en la prueba es demostrar que el núcleo del mapa $x\rightarrow\chi(xy)$ es un compacto ideal de $R$, y por lo tanto es 0. El segundo teorema de los estados de la compacidad del grupo de idèle clases de norma 1, que es equivalente a la finitud del número de clase y de la unidad de teorema. El idèle grupo $J$ es el grupo multiplicativo de los elementos regulares de $R$. Es localmente compacto grupo en la topología para el que la convergencia de $a_i$ $J$ significa que la convergencia de $a_i$$a_i{}^{-1}$$R$. El mapa de $a\rightarrow N(a,R)$ es un homomorphism de $J$ con kernel $J_1$, y la compacidad de $J_1/K^\ast$ es demostrado por un Minkowski-tipo de argumento utilizando la medida de Haar.

En el documento, el caso de la función de los campos sobre los no-finito constante campos tratados en paralelo, utilizando lineal compacto en lugar de compacidad.
Revisada por J. T. Tate

Answer 2

Esto es realmente una cuestión amplia, así que sólo voy a señalar dos estrechamente relacionados con las nociones. (Sobre la cual, debo admitir, que yo sé muy poco.)

En la función de ajuste de campo, los objetos que están en la asignación de ir por el nombre de divisores. Los divisores son una herramienta importante en la geometría algebraica y la teoría de superficies de Riemann, por ejemplo, esta es la forma en que la gente hable acerca de Riemann-Roch. De vuelta en el campo de número de configuración de uno todavía puede definir divisores e incluso pedir una aritmética analógica de Riemann-Roch, que se describe en el capítulo correspondiente de Neukirch (no lo tengo a mano en este momento). Este tipo de material es el dominio de Arakelov teoría.

Como alternativa, en lugar de simplemente tomar los exponentes de la descomposición en factores primos se podría incrustar los enteros en su adele anillo; esto es, por ejemplo, la forma moderna de hacer de la clase de teoría de campo.

Answer 3

Un amigo mío y yo estábamos discutiendo esta posibilidad hace algunos años. Este espacio vectorial con dimensión infinita es lo que llamamos el "codificado espacio". Hay algunos datos interesantes, por ejemplo, los números primos en $\mathbb{N}$ se encuentran en la esfera de radio 1 en el enconded espacio. También, usted puede codificar mucho más allá de los números naturales. De hecho, usted puede codificar el conjunto de $\mathbb{Q}$, los números racionales, si usted escribe los números negativos dentro de las coordenadas del vector. Pero la cosa es que incluso se puede codificar cualquier raíz de un número racional si se agregan los números racionales dentro del vector. Por ejemplo:

$$12 = 2^2·3 \rightarrow (2, 1, 0, 0,...) = (2, 1 \rangle$$ $$\frac{12}{7} = 2^2·3·7^{-1} \rightarrow (2, 1, 0, -1 \rangle$$ $$\sqrt[7]{\frac{12}{5}} = (2^2·3·5^{-1})^{\frac{1}{7}} =2^{\frac{2}{7}}·3^{\frac{1}{7}}·5^{-\frac{1}{7}} \rightarrow (\frac{2}{7}, \frac{1}{7}, -\frac{1}{7} \rangle$$

También, algunos trascendental números pueden ser codificados si el vector de algunos irracionales algebraicas de los números:

$$2^{\sqrt{2}} \rightarrow (\sqrt{2}\rangle$$

No hay ningún problema si se intenta codificar este tipo de números, PERO el problema realmente difícil llega cuando intenta codificar el usual de la suma entre números reales. Por ejemplo, usted puede codificar $\frac{1}{2}$ también $\frac{\sqrt{5}}{2}$, pero usted no puede codificar esta:

$$\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{5}}{2}$$

He estado tratando de encontrar una manera de codificar esta pero tratar con suma codificación es difícil.

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Creo que lo más interesante es que es fácil demostrar que el exponente-vectores y el codificado espacio se comportan como un espacio vectorial. Fácilmente se puede demostrar (nos hizo hace algunos años). La más importante implicación de esto es que usted puede tomar todos los teoremas de álgebra lineal y se aplicarán a los números naturales o números racionales. SPOILER: tratamos de obtener el equivalente teoremas de álgebra a $\mathbb{N}$ $\mathbb{Q}$ y fue un poco decepcionante (bastante obvio hechos).

Answer 4

Esto no responde a su pregunta, pero yo sólo quería ofrecer una expresión algebraica/categórico punto de vista sobre lo que está pasando aquí. En particular, quiero responder a la pregunta:

De dónde viene este mapa en el infinito espacio tridimensional?

En primer lugar, algunos notación: dado un conjunto $X$:

• escribir $\mathbb{N}^X$ para el conjunto de todas las funciones de $\mathbb{N} \leftarrow X$
• $\mathbb{N}^X_\mathrm{fin}$ para el conjunto de todas las funciones de $\mathbb{N} \leftarrow X$ que son finitely compatibles.

Es decir, $\mathbb{N}^X_\mathrm{fin}$ es el conjunto de todas las funciones $f : \mathbb{N} \leftarrow X$ tal que $\{x \in X \mid 0_\mathbb{N}=f(x)\}$ es cofinite. La actualidad del pensamiento de $\mathbb{N}$ como una forma aditiva denota conmutativa monoid, es claro que $\mathbb{N}^X$ es también una forma aditiva denota conmutativa monoid con respecto a pointwise adición. Podemos pensar de $\mathbb{N}^X$, que consta de todos los $\mathbb{N}$valores de multisets en $X$.

Desde $\mathbb{N}^X_\mathrm{fin}$ es un submonoid de $\mathbb{N}^X$, por lo tanto, puede ser visto como un conmutativa monoid en su propio derecho; sus elementos son precisamente los $\mathbb{N}$valores de multisets en $X$ que son finitely compatibles. Ahora es bien conocido el conmutativa monoid $\mathbb{N}^X_\mathrm{fin}$ cumple la característica universal del "libre (de forma aditiva denotado) conmutativa monoid en $X$." De hecho, no sólo es $X$ base $\mathbb{N}^X_\mathrm{fin},$ pero, en realidad, es la única base. Por lo tanto:

La proposición. Cada conmutativa monoid $C$ tiene más de uno.

(El concepto de "idempotente conmutativa monoid" también tiene esta notable propiedad.)

Por supuesto, esto se mantiene incluso si cambiamos de aditivo multiplicativo de la notación; así, la escritura $\mathbb{N}^\times$ para el conjunto de $\mathbb{N} \setminus \{0\}$ visto un conmutativa monoid con respecto a la multiplicación, se puede concluir que la $\mathbb{N}^\times$ tiene más de uno. Ahora vamos a $Q$ denotar un subconjunto arbitrario de $\mathbb{N}$. No hay función

$$\pi_Q : \mathbb{N}^\times \leftarrow \mathbb{N}^Q_\mathrm{fin}$$

dado por tomar el producto; por ejemplo, si $Q=\{2,4,93\},$ $$\pi_Q(\{2,2,4\}) = 2 \times 2 \times 4.$$

Ahora claramente, $\pi_Q$ es siempre un homomorphism; por ejemplo, $$\pi_Q(\{2\} + \{2,4\}) = \pi_Q(\{2,2,4\}) = 2 \times 2 \times 4 = 2 \times (2 \times 4) = \pi_Q(\{2\}) \times \pi_Q(\{2,4\}).$$

Además:

Lema. Para todos $Q \subseteq \mathbb{N}^\times$, $Q$ es una base para $\mathbb{N}^\times$ fib $\pi_Q$ es un isomorfismo.

(Pero, ¿por qué? Estoy un poco confundido acerca de este punto. Hmmmm.)

De todos modos, llegamos a la conclusión de que hay un $Q \subseteq \mathbb{N}^\times$ que $\pi_Q$ es un isomorfismo. Ahora escribo $\mathbb{P}$ para el subconjunto de $\mathbb{N}^\times$ consiste de todos los números primos. Tenemos:

Teorema. (Teorema Fundamental de la aritmética para $\mathbb{N}$). La función de $\pi_\mathbb{P}$ es un isomorfismo. Por lo tanto, $\mathbb{N}^\times$ es gratis, y su única base está dado por el conjunto de los números primos.

El mapa describe en su pregunta, que aterriza con nosotros en infinitas dimensiones del espacio, es $\pi_\mathbb{P}^{-1}$.

En resumen:

1. Un elemento de $\mathbb{N}^\times$ siempre se puede hacer en un finitely apoyados $\mathbb{N}$valores de conjunto múltiple de los números primos mediante la aplicación de $\pi_\mathbb{P}^{-1}.$
2. Un finitely apoyados $\mathbb{N}$valores de conjunto múltiple de los números primos siempre se puede hacer en un elemento de $\mathbb{N}^\times$ mediante la aplicación de $\pi_\mathbb{P}.$
3. Estas operaciones son homomorphisms, y a la recíproca.