Extensión de un mapa continuo en $ {\mathbf{GL}_{n}}(\mathbb{R}) $ a $ {\mathbf{M}_{n}}(\mathbb{R}) $ .

Question

Estaba leyendo en mi libro de texto de análisis que el mapa $ f: {\mathbf{GL}_{n}}(\mathbb{R}) \to {\mathbf{GL}_{n}}(\mathbb{R}) $ definido por $ f(A) := A^{-1} $ es un mapa continuo. También he visto que $ {\mathbf{GL}_{n}}(\mathbb{R}) $ es denso en $ {\mathbf{M}_{n}}(\mathbb{R}) $ . Mi pregunta es:

¿Cuál es la extensión única de $ f $ a $ {\mathbf{M}_{n}}(\mathbb{R}) $ ?

Answer 1

Las matrices

$$ A_{n} = \begin{pmatrix} \frac{1}{n} & 0\\ 0 & \frac{1}{n} \end{pmatrix}$$

convergen a la matriz cero como $n \to \infty$ . Sus inversos son

$$ A_{n} = n \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Y esto va hasta el infinito en norma matricial como $n\to \infty$ . Por lo tanto, no hay forma de extender la inversa incluso a la matriz cero.

Este ejemplo es análogo a intentar ampliar $f(x) = x^{-1}$ de $(0,1)$ a $[0,1]$ .

Answer 2

Como han señalado los demás, no se puede ampliar $f$ a un continuo función $g:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R})$ porque existe una secuencia convergente de matrices invertibles $X_n$ tal que $f(X_n)=X_n^{-1}$ diverge. Sin embargo, existe una biyectiva función $g:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R})$ tal que $g=f$ en $GL_n(\mathbb{R})$ a saber, $g(X)=X^+$ es el Pseudoinverso de Moore-Penrose de $X$ .

Answer 3

Sólo para añadir a las dos respuestas anteriores. Si usted se refiere a mi solución en el hilo Divisores de cero topológicos izquierdos en álgebras de Banach. verá que si $ X \in \partial({\text{GL}_{n}}(\mathbb{R})) \subseteq {\text{M}_{n}}(\mathbb{R}) $ donde $ \partial $ denota el operador topológico de frontera, entonces existe una secuencia $ (X_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ en $ {\text{GL}_{n}}(\mathbb{R}) $ tal que $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} X_{n} = X $ pero $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \| X_{n}^{-1} \| = \infty $ . Esto demuestra que $ (\bullet)^{-1}: {\text{GL}_{n}}(\mathbb{R}) \to {\text{GL}_{n}}(\mathbb{R}) $ no puede ampliarse continuamente a $ {\text{M}_{n}}(\mathbb{R}) $ .