Soporte de la mentira y las corrientes de colector

Question

Supongamos que $X$ $Y$ son suaves campos vectoriales con los flujos de $\phi^X$ $\phi^Y$ partir de algunos $p \in M$ ($M$ es un buen colector). Supongamos que el flujo de con $X$ durante algún tiempo $\sqrt{t}$ y, a continuación, el flujo de con $Y$ durante este mismo tiempo. Luego nos flujo hacia atrás a lo largo de $X$, para el mismo tiempo, y, a continuación, el flujo hacia atrás a lo largo de $Y$. En definitiva, se puede definir una curva depende de $t$ siguiente $$\alpha(t):= \phi_{-\sqrt(t)}^Y \circ \phi_{-\sqrt(t)}^X \circ \phi_{\sqrt(t)}^Y \circ \phi_{\sqrt (t)}^X$$

Es un ejercicio para demostrar que $\frac{d}{dt}|_{t=0} \alpha(t) = [X,Y](p)$. En teoría, esto debería de ser factible sólo con la regla de la cadena, (suponiendo que saben hacer estos derivados correctamente, que es algo que me gustaría aclarar), pero este proceso va a ser muy largo y doloroso, y es algo que quiero evitar, si me pueden ayudar. Hay otra forma de hacer este tipo de cálculos que será menos doloroso y más ilustrativo de por qué esto funciona?

Answer 1

No estoy seguro de si esta es la respuesta que usted está buscando, ya que esta es la computación. Pero esto no implica la regla de la cadena, al menos.

Así que... a ambos lados de la ecuación son los elementos del espacio de la tangente $T_pM$. A ver de que son iguales, podemos calcular su acción en función de $f:M \to \mathbb R$.

Ahora, por definición $$ [X,Y](f)(p) = \lim_{h \to 0} \frac 1h \left[ (Yf) \circ \phi_h^X(p)-Y(f)\right] - \lim_{h \to 0} \frac 1h \left[ (Xf) \circ \phi_h^Y(p)-X(f)\right] $$ El primer término es igual a: $$ \lim_{h \to 0} \frac 1h \left[ (\lim_{k \to 0}\frac 1k [f \circ \phi_k^Y(p)-f(p)]) \circ \phi_h^X(p)-[\lim_{k \to 0}\frac 1k f \circ \phi_k^Y(p)-f(p) ]\right] $$ Establecimiento $k=h$ (las funciones son diferenciables, por lo que esto no debería cambiar la respuesta), obtenemos $$ = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} \left[ f \circ \phi_h^Y \circ \phi_h^X (p) - f \circ \phi_h^X(p) -f \circ \phi_h^Y(p) + f(p) \right] $$ Hacer lo mismo para el otro término, obtenemos: $$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} \left[ f \circ \phi_h^X \circ \phi_h^Y (p) - f \circ \phi_h^Y(p) -f \circ \phi_h^X(p) + f(p) \right] $$ Restando ellos, la mayoría de los términos cancelar y obtenemos $$ \lim_{h \to 0} \frac {1}{h^2}\left[ f \circ \phi_h^Y \circ \phi_h^X(p) - f \circ \phi_h^X \circ \phi_h^Y(p) \right] $$ Ahora vamos a utilizar ese $(\phi_h^X)^{-1}=\phi_{-h}^X$ para obtener $$ \lim_{h \to 0} \frac {1}{h^2}\left[ f - f \circ \phi_h^X \circ \phi_h^Y \circ \phi_ {h}^X \circ \phi_ {h}^Y(p) \right] $$ Pero esto es sólo el derivado de la $\alpha$ (se recorre en la dirección opuesta, pero eso está bien)! Poner a $t=h^2$ obtenemos el resultado.

Así que en definitiva, este cálculo no fue no sufra, pero está claro por qué necesitamos a la raíz cuadrada de los signos.