Demostrar que para todos los $x>0$, $1+2\ln x\leq x^2$ %

Question

Demostrar que todos $x>0$,

$$1+2\ln x\leq x^2$$

¿Cómo puede uno demostrar?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que el problema no puede ser para todas las $\;x\in\Bbb R\;$ pero, a lo sumo, para $\;x>0\;$ (¿por qué?). Ahora, un enfoque de cálculo simple: definir

$$f(x):=1+2\log x-x^2\implies f'(x)=\frac2x-2x=0\iff x=1$$

y desde $\;f''(1)=-2<0\;$, conseguimos un punto máximo en $\;(1,0)\;$, lo que significa que para todas las $\;x<0\;$ nos

$$f(x)\le 0$$

Answer 2

Aviso por el famoso desigualdad $e^x \geq 1 + x $. Podemos cambiar la escala de esto y obtener

$$ e^{x-1} \geq x \implies x-1 \geq \ln x\implies2x -2 \geq 2\ln x$$

$$ \implies 2x - 1 \geq 2 \ln x + 1 $$

Ahora, mediante el uso de $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ $a = x^2 $ y $b = 1$, obtenemos

$$ \frac{x^2 + 1}{2} \geq x \implies x^2 \geq 2x - 1$$

Ahora, por transitividad, $$ x^2 \geq 2 \ln x + 1 $ $

QED

Realmente una solución más corta:

Desde $e^x \geq 1 + x $, entonces el $e^{x^2} \geq 1 + x^2$ %. Traducir este número para obtener

$$ e^{x^2-1} \geq x^2 \implies x^2 -1 \geq \ln x^2 \implies x^2 \geq 1 + 2 \ln x$$

Answer 3

$\textbf{Hint:}$ Encontrar el valor mínimo de $f(x) = x^2 - 1 - 2 \ln x$. Si es no negativo, entonces el $x^2 \geq 1 + 2 \ln x$ % todo $x$en el dominio.

Answer 4

Para todos los $x > 0$, $\ln(x) < x - 1$.

Así $1 + 2\ln(x) = 1 + \ln(x^2) \leq 1 + x^2 - 1 = x^2$.

Answer 5

Espero que usted es consciente de la desigualdad estándar $e^{x} > 1 + x$ % todos $x \neq 0$. Esto se traduce en $\log x < x - 1$ % todo $x > 0$y $ x \neq 1$. Ahora es fácil ver que $1 + 2\log x < 1 + 2(x - 1) = 2x - 1$ y esto va ser menos que igual a $x^{2}$ si $0 \leq x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}$ que es cierto. Así que tenemos $1 + 2 \log x \leq x^{2}$ % todos $x > 0$. La igualdad se produce cuando $x = 1$.