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$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{\ln n}\sum_{j,k=1}^{n}\frac{j+k}{j^3+k^3}\;.$$

Answer 1

$$ \frac{1}{\log n}\sum_{j,k=1}^n \frac{j+k}{j^3 +k^3} = \frac{1}{\log n}\sum_{m=1}^n\left(2\sum_{i=1}^m \frac{m+i}{m^3+y^3} - \frac{1}{m^2}\right) $$ Desde $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\log n}\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^2} = 0, $$ llegamos a la conclusión de $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\log n}\sum_{j,k=1}^n \frac{j+k}{j^3 +k^3} = 2 \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n}\sum_{m=1}^n\left(\sum_{i=1}^m \frac{m+i}{m^3+y^3}\right). $$ Definir $$ a_m = m \cdot \sum_{i=1}^m \frac{m+i}{m^3+y^3}, $$ así $$ (1)\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\log n}\sum_{j,k=1}^n \frac{j+k}{j^3 +k^3} = \lim_{n\to\infty} 2 \frac{1}{\log n} \sum_{m=1}^n \frac{a_m}{m}. $$ Podemos aproximar $a_m$ usando una integral de Riemann, dando $$ (2) \lim_{m\to\infty} a_m = \int_0^1 \frac{1+x}{1+x^3} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}. $$ (Se me olvida cómo hacer que la última integral. He utilizado Mathematica.) Recordemos que $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\log n}\sum_{m=1}^n \frac{1}{m} = 1. $$ Para cualquier secuencia $b_m\to 0$, $$ (3) \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\log n}\sum_{m=1}^n b_m \frac{1}{m} = 0. $$ Para ver esto, supongamos $|b_m|<\epsilon$$m>N$. Entonces $$ \left|\frac{1}{\log n}\sum_{m=1}^n b_m \frac{1}{m}\right| <= \left|\frac{1}{\log n}\sum_{m=1}^N b_m \frac{1}{m}\right| + \left|\frac{1}{\log n}\sum_{m>N}^n b_m \frac{1}{m}\right| \\ <= \left|\frac{1}{\log n}\sum_{m=1}^N b_m \frac{1}{m}\right| + \frac{\epsilon}{\log n}\sum_{m>N}^n \frac{1}{m}. $$ El límite del lado derecho de esta desigualdad es $\epsilon$. Desde $\epsilon$ puede ser elegido arbitrariamente pequeño, (3) de la siguiente manera. Como un corolario inmediato, si $b_m\to L$, luego $$ (4) \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\log n}\sum_{m=1}^n b_m \frac{1}{m} = L. $$ Se sigue de (1), (2) y (4) que $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\log n}\sum_{j,k=1}^n \frac{j+k}{j^3 +k^3} = \frac{4\pi}{3\sqrt{3}}. $$

Answer 2

Voy a ser no muy rigurosa aquí.

Dejando $m = j+k$,

$\begin{align} \sum_{j,k=1}^{n}\frac{j+k}{j^3+k^3} &\approx \frac{1}{2}\sum_{m=2}^{2n} \sum_{j=1}^{m-1}\frac{m}{j^3+(m-j)^3}\\ &= \frac{1}{2}\sum_{m=2}^{2n} m\sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{(j+(m-j))(j^2-j(m-j)+(m-j)^2)}\\ &= \frac{1}{2}\sum_{m=2}^{2n} m\sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{m(j^2-jm+j^2+m^2-2jm+j^2)}\\ &= \frac{1}{2}\sum_{m=2}^{2n} \sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{3j^2-3jm+m^2}\\ &= \frac{1}{2}\sum_{m=2}^{2n} \frac{1}{m^2}\sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{3(j/m)^2-3(j/m)+1}\\ &\approx \frac{1}{2}\sum_{m=2}^{2n} \frac{1}{m}\int_{0}^{1} \frac{dx}{3x^2-3x+1}\\ &= \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{dx}{3x^2-3x+1} \sum_{m=2}^{2n} \frac{1}{m}\\ &\approx \frac{\ln(2n)}{2} \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^2-x+1/3} \\ \end{align}$.

Para evaluar la integral,

$\begin{align} I = \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^2-x+1/3} &=\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^2-x+1/4-1/4+1/3}\\ &=\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x-1/2)^2+1/12}\\ &=\int_{-1/2}^{1/2}\frac{dx}{x^2+1/12}\\ &=2\int_{0}^{1/2}\frac{dx}{x^2+1/12}\\ \end{align} $.

Dejando $x = y/\sqrt{12}= y/(2\sqrt{3})$ \begin{align} I &= 2\int_{0}^{1/2}\frac{dx}{x^2+1/12}\\ &= 2\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{dy}{2\sqrt{3}((y^2)/12+1/12)}\\ &= \frac{12}{\sqrt{3}}\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{dy}{y^2+1}\\ &= \frac{12}{\sqrt{3}}\tan^{-1}(\sqrt{3})\\ &= \frac{12}{\sqrt{3}}(\pi/3)\\ &=\frac{4\pi}{\sqrt{3}}\\ &=\frac{4\sqrt{3}\pi}{3}\\ \end{align}

por lo que la suma es sobre $$ \frac{\ln(2n)}{2} \frac{4\sqrt{3}\pi}{3} =\frac{4\sqrt{3}\pi\ln(2n)}{6} \approx \frac{2\sqrt{3}\pi\ln(n)}{3} $$

por lo que el límite es $\dfrac{2\sqrt{3}\pi}{3} $.

Como de costumbre, esto se hace por la parte superior de mi cabeza, haciendo las matemáticas,$\LaTeX$, pero por lo menos tengo un límite razonable. Quién sabe, esto incluso podría ser correcta.

Answer 3

Aquí está otro bosquejo de prueba.

Deje que

$$J_n = \{(j, k) : 0 \leq j, k < n \text{ and } (j, k) \neq (0, 0) \}.$$

Entonces para cada $(j, k) \in J_n$ y $(x_0, y_0) = (j/n, k/n)$, tenemos

$$ \frac{x_0 + y_0}{(x_0+\frac{1}{n})^{3} + (y_0 + \frac{1}{n})^3} \leq \frac{x+y}{x^3 + y^3} \leq \frac{x_0 + y_0 + \frac{2}{n}}{x_0^3 + y_0^3} $$

$(x, y) \in [x_0, y_0] \times [x_0 + 1/n, y_0 + 1/n]$. Así si dejamos $D_n$ ser el cierre del set $[0, 1]^2 - [0, 1/n]^2$, entonces

$$ \sum_{(j,k) \in J_n} \frac{j+k}{(j+1)^3 + (k+1)^3} \leq \int_{D_n} \frac{x+y}{x^3 + y^3} \, dxdy \leq \sum_{(j,k) \in J_n} \frac{j+k+2}{j^3 + k^3}. $$

No es difícil establecer la relación que

$$ \sum_{(j,k) \in J_n} \frac{j+k}{(j+1)^3 + (k+1)^3} = \sum_{j,k=1}^{n} \frac{j+k}{j^3 + k^3} + O(1) $$

y

$$ \sum_{(j,k) \in J_n} \frac{j+k+2}{j^3 + k^3} = \sum_{j,k=1}^{n} \frac{j+k}{j^3 + k^3} + O(1). $$

Al notar que

\begin{align*} \int_{D_n} \frac{x+y}{x^3 + y^3} \, dxdy &= 2\int_{\frac{1}{n}}^{1} \int_{0}^{y} \frac{x+y}{x^3 + y^3} \, dxdy \\ &= (2 \log n) \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 - x + 1} \, dx \\ &= \frac{4 \pi \log n}{3\sqrt{3}}, \end{align*}

obtenemos la fórmula asintótica

$$ \frac{1}{\log n} \sum_{j,k=1}^{n} \frac{j+k}{j^3 + k^3} = \frac{4 \pi}{3\sqrt{3}} + O\left( \frac{1}{\log n} \right) $$

y por lo tanto, la respuesta es $\displaystyle \frac{4 \pi}{3\sqrt{3}} $.