Escribir números complejos en forma $a+bi$

Question

Puede $\sqrt{i+\sqrt{2}}$ expresarse como $a+bi$ con $a,b \in \mathbb{R}$ ? En general, ¿qué tipo de expresiones pueden reescribirse de esa forma?

Answer 1

Se puede expresar dicha expresión de la forma $a+ib$ .

Dejemos que $$x+iy = \sqrt{i+\sqrt{2}} \\ (x+iy)^2 = (\sqrt{i+\sqrt{2}})^2 \\ x^2 - y^2 +2ixy = i+\sqrt{2} \\ $$ Ahora sólo tienes que resolver las ecuaciones $x^2 - y^2 = \sqrt{2}$ y $xy = \frac{1}{2}$ para obtener los valores de $x$ y $y$ .

$x = \,\,^+_-\sqrt{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}}$ y $y = \,\,^+_-\sqrt{\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}}$

Answer 2

Un enfoque eficaz se basa en el uso de la transformación de coordenadas cartesianas a polares. Para ello, dejemos que $z=x+iy=\sqrt{x^2+y^2} e^{i\arctan2(x,y)+i2\ell \pi}$ . Entonces, la raíz cuadrada de $z$ viene dada por

$$\begin{align}\sqrt{z}&=\sqrt{x+iy}\\\\&=\sqrt{\sqrt{x^2+y^2}\,e^{i\arctan2(x,y)+i2\ell \pi}}\\\\ &=(-1)^{\ell}(x^2+y^2)^{1/4}e^{i\frac12\text{arctan2}\,(x,y)}\\\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{(-1)^{\ell}(x^2+y^2)^{1/4}\left(\sqrt{\frac{1+\frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}}{2}} +i\sqrt{\frac{1-\frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}}{2}} \right)} \tag 1\\\\ \end{align}$$

donde $\ell $ es un número entero cualquiera y $\arctan2(x,y)$ es el función arctangente con $2$ argumentos .

Tenga en cuenta que $(-1)^\ell = \pm 1$ . Entonces, para $x=\sqrt 2$ y $y=1$ , $(1)$ se convierte en

$$\begin{align}\sqrt{\sqrt 2+i}&=\pm 3^{1/4}\left(\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt 2}{\sqrt{3}}}{2}} +i\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt 2}{\sqrt{3}}}{2}} \right)\\\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\pm \left(\sqrt{\frac{\sqrt 3+\sqrt 2}{2}} +i\sqrt{\frac{\sqrt 3-\sqrt 2}{2}} \right)} \end{align}$$

¡Y ya está!