Demostrar que $\mathbb{R}$ y el intervalo $(0, \infty)$ tienen la misma cardinalidad.

Question

Demostrar que los números reales y el intervalo $(0,\infty)$ tienen la misma cardinalidad.

Intento:

Considere la función $f(x) = e^x$ .

El dominio de esta función son todos los números reales.

El rango de esta función es de $0$ hasta el infinito.

Sea $e^a = e^b$ .

Entonces $\ln(e^a) = \ln(e^b)$

Entonces $a\ln(e) = b\ln(e)$

Esto significa que $a = b$

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Sea $c > 0$

Entonces $e^{ln(c)} = c$

Desde $c > 0, \ln(c)$ está definido, por lo que $f(\ln(c)) = c$

Por lo tanto, f es suryectiva.

Entonces f es biyectiva.

Por lo tanto, $\mathbb{R}$ y $(0, \infty)$ tienen la misma cardinalidad.

Answer 1

Esta es una prueba válida. Esencialmente has utilizado el hecho de que la función exponencial tiene una inversa de dos caras (al menos cuando el codominio son los reales positivos), $\log$ (o $\ln$ si lo prefiere). Cualquier función con un inverso de dos lados es automáticamente una biyección. De hecho, la inyectividad es precisamente lo mismo que tener un inverso a la izquierda y la subjetividad es precisamente lo mismo que tener un inverso a la derecha. Ejercicio: si una función $g$ tiene un inverso izquierdo $f$ y un inverso derecho $h$ entonces, de hecho $f = h$ Así que $g$ tiene una inversa de dos lados.

Aquí tienes otros enfoques que puedes utilizar:

• observe que la función exponencial tiene derivada positiva en todas partes, por lo que es creciente, por lo que debe ser inyectiva (a grandes rasgos, utilice la contrapositiva del teorema de Rolle).
• demostrar (de alguna manera, no estoy seguro de lo que está permitido asumir) que la función exponencial toma valores arbitrariamente pequeños (positivos), y valores arbitrariamente grandes, por lo que por el Teorema del Valor Intermedio toma todos los valores intermedios, por lo que debe ser suryectiva.