Evidentemente yo se que faltan algunas cosas. Todo está bien ahora, sin embargo.
En respuesta a Qiaochu la respuesta que yo quería para precisar los detalles. Deje $(G,\tau_G)$ ser finito topológico grupo, $1:=\{1_G\}$ el subgrupo trivial, $\mathrm{cl}(\cdot)$ el topológica de cierre de operador, y $\mathrm{ncr}(\cdot)$ el grupo de la teoría de la normal núcleo del operador. Por lo $\mathrm{cl}(A)=\bigcap \{F~\textrm{closed}:A\subseteq F\}$$\mathrm{ncr}(A)=\bigcap_{g\in G}g^{-1}Ag$.
Lema 1. Deje $(X,\tau_X)$ ser un espacio topológico. Los pares de $A,\,\mathrm{cl}_X(A)$ determinar $\tau_X$ y vice-versa.
Prueba. El vice-versa dirección es clara por $\mathrm{cl}$'s de la intersección de la fórmula. Por el contrario, un subconjunto $A\subseteq X$ es cerrado si y sólo si $\mathrm{cl}(A)=A$ (si $A$ es cerrado, a continuación,$A\subseteq \bigcap F\subseteq A\implies \mathrm{cl}(A)=A$, y por el contrario si la igualdad sostiene, a continuación, $A$ es una intersección de conjuntos cerrados por lo tanto es cerrado). Por lo tanto podemos determinar el abierto de conjuntos de $X$ precisamente en términos de cierre: $A\subseteq X$ es abrir el fib $X\setminus A=\mathrm{cl}(X\setminus A)$.
Lema 2. La topología $\tau_G$ $G$ está determinado por $S:=\mathrm{cl}(1)$.
Prueba. Deje $X\subseteq G$ ser un subconjunto. Cualquier conjunto cerrado $F$ contiene $X$ contiene ningún singleton subconjunto de $X$, por lo que también contiene el cierre de la $\mathrm{cl}(x)$ todos los $x\in X$, por lo tanto contendrá la unión finita $Y:=\cup_{x\in X}\mathrm{cl}(x)$; ya que la unión es finito, $Y$ también está cerrada. Nota: $X\subseteq Y$ desde $x\in\mathrm{cl}(x)$ siempre. Así llegamos a la conclusión de que $\mathrm{cl}(X)=Y$ porque $Y$ exhibe la característica universal de la clausura de la $X$. Por otra parte,
$$\begin{array}{cl} \mathrm{cl}(x) & = \bigcap \{F~\textrm{closed}:x\in F\} \\ & = \bigcap x\{x^{-1}F~\textrm{closed}:1_G\in x^{-1}F\} \\ & =x\bigcap\{E~\textrm{closed}:1_G\in E\} \\ & = x\,\mathrm{cl}(1)=xS \end{array}$$ $$\therefore~~ \mathrm{cl}(X)=\bigcup_{x\in X}\mathrm{cl}(x)=\bigcup_{x\in X}xS=XS.$$
Todos los cierres son por lo tanto se determina únicamente por $S$, y por lo tanto para con $\tau_G$ por el Lema 1.
Lema 3. $S=\mathrm{cl}(1)\trianglelefteq G$ es un subgrupo normal.
Prueba de normalidad. Desde la izquierda y la derecha de traducción son continuos y $S$ es cerrado conteniendo $1_G$, cualquier conjugado $g^{-1}Sg$ debe ser cerrado y contener $1_G$ por lo tanto $S\subseteq g^{-1}Sg=S^g$ todos los $g$. Por Lo Tanto $$S\subseteq \bigcap_{g\in G}S^g=\mathrm{ncr}(S) \subseteq S\implies S=\mathrm{ncr}(S).$$ Since the group-theoretic normal core is normal, $S$ is a normal subset of $G$.
Prueba de subgrupo. Tenga en cuenta que $S$ es un conjunto cerrado que contiene a $x$ cualquier $x\in S$, por lo tanto $xS\subseteq\mathrm{cl}(x)\subseteq S$, y desde $x^{-1}S\subseteq S\implies S\subseteq xS$ por la izquierda-la multiplicación, $xS=S$ todos los $x\in S$, lo que da cierre bajo la multiplicación, así como la recíproca (desde $1_G\in S=xS\implies 1_G=xy$ algunos $y\in S$).
Teorema. La única que no sea trivial topologías en un grupo finito se levantó de discretos topologías en factor de grupos. Es decir, una topología en $G$ debe tener como base el coset espacio de $G/N$$N\trianglelefteq G$.
Prueba. Deje $\tau_G$ ser una topología en $G$ y deje $N=S=\mathrm{cl}_G(1)$. Un subconjunto $X\subseteq G$ es abrir el fib $G\setminus X$ es cerrado iff $G\setminus X=\mathrm{cl}(G\setminus X)=(G\setminus X)S=\cup_{y\in G\setminus X}yN$ es una unión de la izquierda cosets de $N$ (y de hecho desde $N$ está cerrada y que la traducción es continua, cualquier unión de la izquierda cosets de $N$ es cerrado). Pero desde cosets partición $G$ si $G\setminus X$ es una unión de cosets, por lo que es $X$. Por lo tanto $G/N$ es una base para $\tau_G$.
Observación. Supongamos $(G,\tau_G)$ es de Hausdorff. A continuación, para cada nonidentity elemento $g\in G$, existen abiertos disjuntos conjuntos de $1_G\in U_g$$g\in V_g$. A continuación, $1_G\in\cap_{g\ne 1_G}U_g$ es abierto y no puede contener un no-elemento de identidad por lo tanto $\{1_G\}$ está abierto, y, posteriormente, por la continuidad de cualquier singleton y por la unión de cualquier subconjunto es abierto, por lo $\tau_G=\mathcal{P}(G)$ es de hecho la topología discreta.
