Dos números, dos matemáticos rompecabezas

Question

Este es uno de los más bellos y más difíciles rompecabezas que me he encontrado. He hablado con varias personas, pero yo todavía no sé la solución - yo, sin embargo, sabemos que la solución existe.

Alguien imaginó dos números enteros positivos. Ambos números son mayores que las de $1$, y menos de $21$. Que la persona le dice a la suma de los dos números para Un matemático, y el producto de los dos números matemático B. Par de días más tarde, a y B hablan el uno al otro:

R: no Hay ninguna manera para que usted pueda encontrar la suma.
B: Pero yo sé que la suma ahora!
A: Y ahora sé que el producto.

Que dos números tienen persona imaginado?

Answer 1

Una referencia:
A. K. Austin, "un cálculo para saber/no saber problemas" revista de matemáticas Vol. $49$, núm. $1$, enero de 1976

Answer 2

En realidad no hay solución a este rompecabezas. Martin Gardner di cuenta de esto después de presentar en la revista Scientific American:

'Como cientos de lectores han señalado que el "problema imposible" que se dan en este departamento para el mes de diciembre resultó ser literalmente imposible." (Para esta cita y una explicación, ver aquí.)

Para el rompecabezas tiene una solución, tendría que ser de un monto tal que no importa cómo está dividido en dos admisible sumandos, el producto resultante tiene también al menos uno de los otros admisible de factorización. El siguiente programa en Java, se comprueba que no hay tal monto.

public class SumAndProduct {
    final static int min = 2;
    final static int max = 20;

    public static void main (String [] args) {
        outer:
        for (int sum = min + min;sum <= max + max;sum++) {
            for (int i = min;i <= max;i++) {
                int j = sum - i;
                int product = i * j;
                int nfactorizations = 0;
                for (int a = min;a <= max;a++) {
                    int b = product / a;
                    if (min <= b && b <= max && a * b == product)
                        nfactorizations++;
                }
                nfactorizations = (nfactorizations + 1) / 2;
                if (nfactorizations == 1)
                    continue outer;
            }

            System.out.println ("sum " + sum + " can't be determined");
        }
    }
}

Tenga en cuenta que la solución de $(2,6)$ dado en esta página vinculada por picakhu es incorrecta. La suma es $8$, lo que podría ser el resultado de $(3,5)$, que tiene la exclusiva de la factorización de la $3\cdot5$ que permitiría a B a deducir de la suma de $8$. La solución originalmente reclamado por Martin Gardner $(4,13)$.

Answer 3

Como joriki señaló que este problema es imposible.

La razón por la que es imposible es que hay varias soluciones y así los matemáticos no sería capaz de declarar que habían descubierto que cada una a través de los números.

La conversación nos da las restricciones adicionales en las soluciones. En orden para Un matemático para declarar que no hay manera de que B podría determinar su suma, eso significa que él haya cerciorado de que:

1. Su suma NO es la suma de dos números primos.
2. Su suma nunca puede ser creado usando dos números cuyo producto tiene una única factorización en el intervalo [2, 20] es decir, 20+20=40, => 20*20=400 ( creo que el resultado de esto es que la suma debe ser menor que 13 13=2+11 y 11*2 = 22 > 20)

(Por favor nota que me hizo la siguiente en papel y puede haber cometido un error en alguna parte.)

A partir de los límites del problema sabemos que las sumas posibles rango de 4 a 40 inclusive. El uso de la primera restringir podemos eliminar muchos de estos. Si tomar todas las combinaciones posibles de la adición de dos números primos (en el intervalo [2, 20]) y eliminar aquellas sumas de dinero que nos queda a los siguientes sumas posibles:

11, 17, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 40

La aplicación de la restricción 2 encontramos que la suma debe ser 11. Esto permite matemático B a declarar ", Pero sé que la suma ahora!"

En fin no hay una única factorización debemos ser capaces de crear la suma (11) con un no-primos en el intervalo [2, 20]. Para encontrar las soluciones que debemos restar cada uno de los non-prime a partir de la suma. Para cada solución válida será el resultado en el intervalo [2, 20]. Esto nos lleva a la siguiente conjunto de cuatro soluciones.

1. (4, 7) Producto: 28 = 2 * 14.
2. (5, 6) Producto: 30 = 3 * 10 = 2 * 15
3. (3, 8) Producto: 24 = 4 * 6 = 2 * 12
4. (2, 9) Producto: 18 = 3 * 6

Nota: joriki de java de código es incorrecto. En lugar de demostrar que no hay soluciones es, de hecho, encuentra muchos falsos positivos.

Cuando se ejecuta el programa "no se puede determinar" nunca es la salida que significa que el programa no se entera de lo que cree que son soluciones.

'j' no está probado para comprobar si está en el rango, la creación de muchos falsos positivos.

suma = 15 tiene una única factorización 3*5, pero el programa cuenta 2 factorisations en forma de 3*5 & 5*3. Esto significa que nfactorizations termina siendo 1 y por lo tanto la creación de un falso positivo.

Incluso cuando estos errores son corregidos el programa de pruebas para casos tales como suma = 7 y encuentra la solución (3, 4). Esto también está mal como Un matemático no podía mirar a la suma, 7 y a la conclusión de que el matemático B no sería capaz de encontrar la suma. Esto es debido a que 7 puede estar formado por la adición de 2 y 5, ambos de los cuales son los principales. B sería capaz de mirar a su producto de 10 y deducir que los números son 2 y 5, y que la suma es 2+5=7.

Answer 4

Creo que he encontrado dos soluciones diferentes para este problema:

$(4,13)$

$(16,19)$

Creo que estas son todas las posibles soluciones al problema como se indica.

¿joriki, no son soluciones válidas? Si es así, ¿podría explicar por qué?