¿Cuál es la fórmula para múltiples dos series finitas?
$$\sum_{k=0}^m {m \choose k}x^k \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k$$
Respuestas
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La serie finita son sólo polinomios, por lo que se multiplican como tales. Más en general, el producto de Cauchy de dos de poder formal de la serie se obtiene multiplicando ellos como si fueran polinomios. Por lo tanto, el coeficiente de $x^n$ en
$$\left(\sum_{k\ge 0}a_kx^k\right)\left(\sum_{k\ge 0}b_kx^k\right)$$
es $$\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\;.$$
En tu problema, si
$$\left(\sum_{k=0}^m\binom{m}kx^k\right)\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}kx^k\right)=\sum_{k=0}^{m+n}c_kx^k\;,$$
a continuación, $$c_k=\sum_{i=0}^k\binom{m}i\binom{n}{k-i}=\binom{m+n}k\;.$$
Añadido: el último paso usos Vandermonde de la identidad, que es fácilmente demostrado desde el teorema del binomio, como en el laboratorio de bhattacharjee la respuesta, o por una puramente combinatoria argumento.
Farkhod Gaziev
Puntos
6
Aplicando el conocido Teorema del binomio, $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k$ % naturales $n,$
$$\left(\sum_{k=0}^m {m \choose k}x^k \right) \left(\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k\right)=(1+x)^m(1+x)^n=(1+x)^{m+n}=\sum_{r=0}^{m+n} {{m+n} \choose r}x^r$$
