Una propiedad elemental de los productos del tensor.

Question

Estoy estudiando la teoría de las representaciones para iniciar mi tesis de Maestría. Estoy usando el libro de J. P. Serre, Lineal Representaciones de Grupos Finitos y en la pg. 55 Él afirma:

Si $V$ es inducida por $W$ e si $E$ $C[G]$- módulo, tenemos un isomorfismo canónico $$Hom^H(W,E)\simeq Hom^G(V,E)$$ donde $Hom^H(V,E)$ denota el espacio vectorial de $C[G]$-homomorphisms de $V$ a $E$, e $Hom^G(W,E)$ se define de manera similar. Esto se desprende de un elemental de la propiedad del tensor de productos.

Aquí, $G$ es un grupo finito, $V$ $C[G]$- módulo de e $W$ un sub-$C[H]$-módulo de $V$.

Estoy tratando de probar esto, pero sin éxito. Puede alguien explicar cómo proceder aquí? ¿Qué es esto de la propiedad y cómo usarlo?

[EDITAR]

En el libro, me dijo a ver el siguiente lema:

Lema: Supongamos que $(V,\rho)$ es inducida por $(W,\theta)$. Deje $\rho':G\rightarrow GL(V')$ ser una representación lineal de $G$, y deje $f:W\rightarrow V'$ ser un lineal de mapas que $f(\theta_tw)=\rho'_tf(w)$ todos los $t\in H$$w\in W$. Entonces existe un único lineal mapa de $F:V\rightarrow V'$ que se extiende $f$ y satisface $F\circ \rho_s=\rho_s'\circ F$ todos los $s\in G$

Answer 1

Este es un caso especial de la propiedad denominada contigüidad entre el $Hom$ y el tensor de functors.

Específicamente, si $A$ $B$ son dos álgebras sobre un anillo conmutativo $k$ si $X$ es un $A$-$B$-bimodule, si $M$ es un derecho $A$-módulo de e $N$ es un derecho $B$-módulo, a continuación, hay un isomorfismo $$ Hom_A(M, Hom_B(X, N)) \cong Hom_B(M\otimes_A X, N). $$

La propiedad que desea probar se obtiene tomando $A = C[H]$, $B=C[G]$, $M=W$, $N=E$ y $X=C[G]$. Luego tenemos a $W\otimes C[H] = V$$Hom_{C[G]}(C[G], E) = E$, y así obtener el deseado isomorfismo.

Ahora usted puede probar que el adunction propiedad directamente, definiendo el mapa $$ Hom_B(M\otimes_A X, N) \to Hom_A(M, Hom_B(X, N)): f\mapsto (m\mapsto(x\mapsto f(m\otimes x))) $$ y mostrando que es un isomorfismo.