Cuando una ecuación diferencial parcial se resuelve con la separación del método de las variables, se separa la solución producida de la más general que satisface la ecuación o hemos perdido algunas formas de la solución debido a la suposición de que es en forma de ¿variables?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dmoreno
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Aquí van algunas ideas:
Separación de variables es una técnica poderosa que puede ser particularmente útil para problemas de valor de frontera y, en general, cuando la ecuación es lineal. Generalmente hablando, de nuevo, la solución es totalmente recuperado en términos de funciones propias (leído acerca de Sturm-Liouville teoría para una mejor comprensión).
Si no hay condiciones de contorno especificadas, pero una condición en la solución (por ejemplo pasar a través de una curva) el método de las características, si a menudo se utiliza para escribir de 2º orden ecuaciones en derivadas parciales en la forma canónica o girar a la 1 de la orden de ecuaciones en derivadas parciales en un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias, definida sobre ciertas curvas llamadas características.
Un ejemplo, relacionado con mi pregunta, es la siguiente:
Considere la posibilidad de la PDE:
$$z_{xx} - z_{yy} = 0, \quad (x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad z = z(x,y). $$
Entonces, por separación de variables, es decir, suponiendo que las soluciones de $z = P(x)Q(y)$ obtenemos:
$$P'' - \lambda P = 0, \quad Q''-\lambda Q = 0, \quad \lambda \in \mathbb{R}.$$
Entonces, para $\lambda < 0$ (tenga en cuenta que nosotros no tienen restricciones en la $\lambda$), la solución está dada por:
$$P(x) = A_1 \cos \mu x + A_2 \sin \mu x, \quad Q(y) = B_1 \cos \mu y + B_2 \sin \mu y, \quad \mu = \sqrt{|\lambda|}.$$ Then, the solution can be integrated over all possible values of $\lambda \(- \infty,0)$ to make the solution independent from $\lambda$*.
Saludos!
$*$ Este paso está más allá de mis conocimientos sobre ecuaciones en derivadas parciales y todavía sigue siendo desconocido para mí.
