Estimar la varianza dada una muestra de tamaño uno (7 º Kolmogorov estudiante Olimpiada)

Question

Esto es problema 10 de la séptima Olimpiada de estudiante Kolmogorov en la teoría de la probabilidad como traducido por Jonathan Christensen en este hilo.

Dada una muestra de tamaño uno de la variable aleatoria $\xi \sim N(\mu,\sigma^2)$, cuyos parámetros son desconocidos, dar un intervalo de confianza para $\sigma^2$ con nivel de confianza al menos $99\%$.

Answer 1

Limita la densidad $\xi$ desde arriba con su máximo $(\sqrt{2\pi}\sigma)^{-1}$. Así, si nos aseguramos de que el rango de $\xi$ en la que echamos de menos $\sigma^2$ tiene anchura en $\sqrt{2\pi}\sigma/100$, esto garantiza que la probabilidad de que falta $\sigma^2$ a más $1\%$. Así un adecuado intervalo de confianza es $\sigma^2\in[0,20000\xi^2/\pi]$, desde el rango de valores de $\xi$ que nos hace perder $\sigma^2$ $-\sqrt{2\pi}\sigma/200\lt\xi\lt\sqrt{2\pi}\sigma/200$, con anchura exactamente $\sqrt{2\pi}\sigma/100$. Por supuesto podríamos utilizar $\xi-\xi_0$ % arbitrario $\xi_0\in\mathbb R$en su lugar.