Demostrar que el Teorema de Helly no es cierto en $L^{\infty}[0,1]$

Question

Demostrar que el Teorema de Helly no es cierto en $X=L^{\infty}[0,1]$

Teorema de Helly: Sea $X$ sea un espacio lineal normado separable y $\{T_n \}$ una secuencia en su espacio dual $X^*$ que está acotado, es decir, existe un $M > 0$ para lo cual $|T_n(f)|\leq M \cdot ||f||$ para todos $f$ en $X$ y todos $n$ . Entonces existe una subsecuencia $\{T_{n_k}\}$ de $\{T_n\}$ et $T$ en $X^*$ para lo cual $\lim\limits_{k \to \infty} T_{n_k} =T(f)$ para todos $f$ en $X$

Mis pensamientos: Dado que una de las condiciones del teorema es $X$ es un espacio lineal normado separable, pensé que sería suficiente para demostrar que $L^{\infty} [0,1]$ no es separable (y podemos hacerlo por contradicción) pero creo que no es suficiente y quizás un contraejemplo (que no veo) resuelva este problema fácilmente, ¿alguna pista o solución? Gracias

Answer 1

Un poco tarde pero puede ser útil para futuros visitantes:

Defina $$ f_n(x)=\begin{cases} 2^n & x\in \left[\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}\right] \\ 0 & \text{else} \end{cases} $$ Entonces $f_n \in L^1[0,1]$ por lo que induce una función lineal en $L^\infty[0,1]$ por $T_n(g)=\int_{[0,1]}f_n\, g $ .

Supongamos que $T_n$ tiene una subsecuencia convergente débil-*, $ T_{n_k} \rightharpoonup T $ . Defina $ f(x) $ por $$ f(x)= \begin{cases} (-1)^k & x\in \left[\frac{1}{2^{n_k}},\frac{1}{2^{n_k-1}} \right) \\ 0 & \text{else} \end{cases} $$ Claramente, $ f\in L^\infty[0,1] $ pero $T_{n_k}(f)=(-1)^k $ que claramente no converge.

Answer 2

Para el espacio de secuencias acotadas $\ell^\infty$ esto es fácil: las proyecciones $\pi_n((x_k)_{k\in\mathbb N})=x_n$ no tienen un $\sigma((\ell^\infty)^*,\ell^\infty))$ subsecuencia convergente porque se trataría de una única subsecuencia $(n_j)_j$ tal que $\pi_{n_j}(x)=x_{n_j}$ converge para todas las secuencias acotadas.

Para $L^\infty$ se puede encontrar una incrustación isométrica $\ell^\infty\to L^\infty$ y ampliar el $\pi_n$ de Hahn-Banach a funciones lineales continuas en $L^\infty$ .