¿Qué es

Question

Sé que$-\int \tan(t)dt$ =$\ln |\cos t|$ (dejando$C=0$). Así que creo que$e^{-\int \tan(t)dt}$ sería igual a$e^{\ln |\cos t|} = |\cos t|$. Sin embargo, mi libro de matemáticas y Wolfram Alpha dicen que$e^{-\int \tan(t)dt}=e^{\ln (\cos t)} = \cos t$. ¿Por qué se puede ignorar el valor absoluto al tomar la integral indefinida en este caso?

Contexto: Encontrar un factor de integración para$x' = x\tan(t) + \sin(t)$. Pero Wolfram Alpha también me dio esta respuesta sin ningún contexto de ecuaciones diferenciales.

Answer 1

Esto es muy sutil!!!!

Para ver lo que realmente está pasando, es necesario considerar en primer lugar, algo que usted puede no haber notado acerca de las integrales indefinidas. Lo que esto surge de un error de la base de que parece ser perpetuada en un montón de libros de texto, en particular, que ...

$$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$$

o, más en general, que

$$\int f(x) dx = F(x) + C$$

Esto NO es cierto, o más exactamente, que no es en general suficiente. Sólo es válido cuando se $f$ está definido y continuo conectado a un dominio . De lo contrario, si el dominio es disconectado, que es, es, digamos, una unión de $\mathrm{dom}(f) = I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_n$ de pares de intervalos disjuntos $I_n$, entonces la función tiene "la separación de las piezas individuales" y se puede traducir esos individualmente por sus propios constantes $C_j$ y todavía tendrá una antiderivada en el total, desconectado de dominio: el truco es que la adición de una constante no cambia la derivada, pero la adición de dos separadas constantes en dos intervalos para un conectada dominio hacen que no sea diferenciable en un punto si se introduce un descanso , pero si hay un dominio desconectado no es ya un "break" en un sentido y podemos añadir diferentes constantes con ningún daño y no hay falta. En particular, si $\mathrm{dom}(f)$ se ha conectado los componentes de la $K_1, K_2, \cdots, K_n$

$$\int f(x) dx = F(x) + S(x)$$

donde $S(x)$ es seccionalmente constante función definida en cada pieza del dominio:

$$S(x) = \begin{cases} C_1,\ x \in K_1\\ C_2,\ x \in K_2\\ \cdots\\ C_n,\ x \in K_n \end{casos}$$

Así, por $\int \frac{1}{x} dx$ debemos realmente tienen

$$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + \begin{cases}C_1,\ x \in (-\infty, 0)\\ C_2,\ x \in (0, \infty)\end{casos}$$

debido a que el estándar de dominio $\mathrm{dom}\left(x \mapsto \frac{1}{x}\right) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$, con dos de los componentes conectados a $(-\infty, 0)$$(0, \infty)$.

Así que con eso en mente, vamos a pensar acerca de $\tan(x)$. La función de $\tan(x)$ tiene un dominio que excluye todo entero impar, múltiplo de $\frac{\pi}{2}$:$\mathrm{dom}(\tan) = \mathbb{R} \setminus \left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)\pi, n \in \mathbb{Z} \right\}$. Este dominio también puede ser escrito como

$$\mathrm{dom}(\tan) = \bigcup_{n=-\infty}^{\infty} \left(\left(n-\frac{1}{2}\right)\pi, \left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\right)$$

por lo tanto, tiene una infinidad de componentes conectados, es decir, los intervalos de $K_n = \left(\left(n-\frac{1}{2}\right)\pi,\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\right)$ para cada entero $n$. Por lo tanto, podemos asociar una constante independiente $C_n$ a cada intervalo.

Así que ¿qué pasa con la $\ln \cos t$$\ln |\cos t|$? Bueno, la última parte de la respuesta tiene que ver con los números complejos. Resulta que usted puede tomar un logaritmo de un número negativo, por lo que no es estrictamente necesario que el valor absoluto de los signos; más bien, su logaritmo será simplemente un número complejo. En particular, para cualquier número real $x < 0$, tenemos

$$\ln x = \ln(-x) + (2k+1)\pi i,\ k \in \mathbb{Z}$$

que como vemos, es ambiguo -- $\ln$ cuando se extiende de esta manera es un "multi-función con valores" (eufemismo) o mejor "multi-valores de la asociación", como las trigonométricas inversas, raíz cuadrada ($\pm$ raíces cuadradas), etc. . (De hecho, su multivaluedness está directamente ligada a la de la trigonométricas inversas "funciones" por la fórmula de Euler.) Por supuesto, ahora, igual de cómo con los que hemos convencional "por defecto" para qué valor de uso, también hay un convencionales "default" para esta demasiado y que se llevará a $k = 0$, dando

$$\ln x = \ln(-x) + i \pi = \ln |x| + i \pi$$.

llamado el "principal", o "rama principal". Por lo tanto $\ln \cos x$ es una función que es un valor real al $\cos x$ es positivo, y el complejo valorado al $\cos x$ es negativo, y la indefinición al $\cos x$ es 0. Además, cuando es complejo valorado, es un constante cambio de la función valor absoluto. Es decir, teniendo en $\ln \cos x$ como antiderivada es equivalente a la $\ln |\cos x|$, pero con la función de $S(x)$ que es igual a 0 en cada intervalo de donde $\cos x$ es positivo, y es igual a $i \pi$ en cada intervalo de donde $\cos x$ es negativo. Si tomamos $S(x)$, a continuación, hacemos llegar $\ln \cos x$ como válido antiderivada en todas partes, Y además tenemos la mucho más agradable trabajar con factor de integración

$$e^{\ln \cos x} = \cos x$$.

Dulce :)

Answer 2

La pregunta es: "¿por Qué el valor absoluto ser ignorado?"

Tenemos

\begin{eqnarray} e^{-\int\tan t\,dt}&=&e^{\ln\vert\cos(t)\vert+c_1}\\ &=&e^{c_1}\vert\cos(t)\vert \end{eqnarray}

Pero $e^{c_1}>0$ para todos los valores de $c_1$ $\vert\cos(t)\vert\ge0$ cuando en realidad las soluciones, tales como $-\cos(t)$ también existen. Pero la formulación de $y=e^{c_1}\vert\cos(t)\vert$ excluye las soluciones.

Podemos resolver el dilema por deshacerse de el valor absoluto señal y la colocación de la constante positiva $e^{c_1}$ por una constante $C$ que puede tomar valores menores o iguales a $0$. Así que escribir

$$ y=C\cdot\cos(t)$$

Tenga en cuenta que Wolfram también se supone que las soluciones complejas están permitidos.

Answer 3

(factor de integración:$ \mu (t)$)

Entonces

$\ln \left | \mu (t) \right | = - \int \tan(t)dt = \ln \left | \cos t \right |$

asi que $|\mu (t)| =|\cos t|$

Significa $\mu (t) =\pm \cos t$

Pero$ \mu (t)$ debe ser diferenciable. (Cuando $\cos t \neq 0$)

asi que

Caso 1: $\mu (t) = \cos t $ $(t \in R)$

o

Caso 2:$\mu (t) = - \cos t$$(t \in R)$

Una solución es$x = \frac{\int \mu (t) \sin (t) dt}{\mu (t)} + \frac{C}{\mu (t)} = \mathbf{\frac{-\cos 2t +4C}{4\cos t}}$ ($C$ es constante) en ambos casos.

Por lo tanto, no es importante si$\mu (t) = \cos t $ o$\mu (t) = - \cos t$