La suma que usted escribió aproxima a una integral real:
\begin{align}
\langle \sum_k \phi(\lambda_k)E(\Delta\lambda_k)x,y\rangle
& = \sum_k\phi(\lambda_k)\langle E(\Delta\lambda_k)x,y\rangle \\
& \approx \int \phi(\lambda)d_{\lambda}\langle E(\lambda)x,y\rangle.
\end{align}
Y el complejo integral en el extremo derecho es sesquilinear forma que puede ser utilizado para definir un único operador $``\int \phi(\lambda)dE(\lambda)''$ como el único operador de satisfacciones
$$
\int \phi(\lambda)d_{\lambda}\langle E(\lambda)x,y\rangle = \left\langle \int \phi(\lambda)dE(\lambda)x,y\right\rangle,\;\;\; x,y\in H.
$$
Un operador existe debido a que el lado izquierdo es un almacén de sesquilinear forma en el espacio de Hilbert. Si $E$ es un espectral medida asociado con un selfadjoint operador $A$,$A=\int \lambda dE(\lambda)$, e $A^n = \int \lambda^n dE(\lambda)$$n=1,2,3,\cdots$. De modo que la integral espectral representa una función del operador $A$. Por ejemplo,$e^{A} = \int e^{\lambda}dE(\lambda)$. La idea es que el $dE(\lambda)$ es la proyección sobre la parte del espacio asociado con el componente espectral $\lambda$. Es decir, $AdE(\lambda)=\lambda dE(\lambda)$. Para un selfadjoint con discreta del espectro, tales como una matriz en un número finito de dimensiones del espacio, la medida de $E$ ha discreto apoyo que es igual al conjunto de valores propios de a $A$, e $E(\{\lambda\})$ es la proyección sobre el subespacio propio asociado con autovalor $\lambda$$A$, es decir, $AE\{\lambda\}=\lambda E\{\lambda\}$ es exacta. El caso general de una selfadjoint operador es bien aproximada por un operador con espectro discreto, incluso si no tiene autovalores reales, y así es como la de Riemann-Stieltjes suma, entra en juego para aproximar la general por el caso discreto.
