Dada una serie de Laurent $$f(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k(z-z_0)^k,$$ su derivada es obviamente también una serie de Laurent. Sin embargo, al integrarla, la $\frac1{z-z_0}$ introduce un $\ln(z-z_0)$ y con ello una singularidad esencial que convierte la integral de una serie de Laurent en algo que generalmente no es una serie de Laurent de nuevo. Así que se podría definir un nuevo tipo de serie que incluya que $\ln$ plazo, y al integrarse obtener otro nuevo plazo debido a $\int\ln z\,dz = z(\ln z-1)$ o más generalmente, $$\int z^k\ln z\,dz = \frac{z^{k+1}[(k+1)\ln z -1]}{(k+1)^2}$$ para $k\neq-1$ .
Así que la serie $$f(z) := \sum_{k=-\infty}^\infty [a_k+b_k\ln(z-z_0)](z-z_0)^k$$ con $b_{-1}=0$ es completa tanto en la derivación como en la integración a costa de introducir un corte de rama y una singularidad esencial en $z_0$ . Pero, ¿tiene sentido esta definición de la serie? ¿Cómo se pueden obtener los coeficientes $b_k$ ¿Ahora?
Para $b_{-1}\neq0$ se obtiene $\int\frac{\ln z}z\,dz = \frac12\ln^2 z$ cuya inclusión requiere la inclusión de $\int\ln^2z\,dz = z(\ln^2z -2\ln z+2)$ y con ello de $z^m\ln^2z$ para $m\neq-1$ . Y si la serie ampliada incluye un $\frac{\ln^2z}z$ plazo, su integración requeriría una $\ln^3z$ término y así sucesivamente, por lo que en un sentido aún más general tendríamos $$f(z) := \sum_{k=-\infty}^\infty \sum_{l=0}^\infty c_{kl} \ln^l(z-z_0)\cdot (z-z_0)^k.$$ Ahora podría seguir e incluir $l<0$ términos, pero sus integrales requerirían la inclusión de la integral logarítmica $\operatorname{li}(z-z_0)$ y la integración que incluiría $\operatorname{Ei}(z-z_0)$ y funciones hipergeométricas, etc. - Entonces, ¿se detiene esto en un conjunto finito (hasta potencias) de funciones base?
