Sea$R$ un anillo Noetherian y deje que$\mathcal{A}$ sea un módulo inyectivo$R$ -. La inyectividad de$\mathcal{A}$ es equivalente a la exactitud del functor$Hom_R(-,\mathcal{A})$, es decir, cuando tenemos una secuencia exacta de$R$ - modules$M \rightarrow N \rightarrow P, \, \, \, (1)$, entonces la secuencia% % también es exacto. Supongamos ahora que$Hom_R(P,\mathcal{A}) \rightarrow Hom_R(N,\mathcal{A}) \rightarrow Hom_R(M,\mathcal{A}), \, \, \, (2)$ es también un cogenerador en la categoría de$\mathcal{A}$ - modules, es decir$R$. ¿Cómo podemos probar que la exactitud de$Hom_R(M,\mathcal{A})=0 \Rightarrow M=0$ implica exactitud de$(2)$?
Respuesta
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Deje $\mathcal{C}$ ser un abelian categoría, y supongamos $A$ es un inyectiva cogenerator en $\mathcal{C}$. Para cualquier morfismos $f : X \to Y$$\mathcal{C}$, considere la siguiente secuencia exacta en la $\mathcal{C}$: $$0 \longrightarrow W \longrightarrow X \longrightarrow Y \longrightarrow Z \longrightarrow 0$$ Desde $A$ es inyectiva, tenemos una secuencia exacta de abelian grupos: $$0 \longrightarrow \mathcal{C}(Z, A) \longrightarrow \mathcal{C}(Y, A) \longrightarrow \mathcal{C}(X, A) \longrightarrow \mathcal{C}(W, A) \longrightarrow 0$$ Por lo tanto, si $\mathcal{C}(f, A) : \mathcal{C}(Y, A) \to \mathcal{C}(X, A)$ es un isomorfismo en $\textbf{Ab}$, $\mathcal{C}(Z, A)$ $\mathcal{C}(W, A)$ debe ser trivial, y esto implica $Z$ $W$ cero en $\mathcal{C}$ porque $A$ es un cogenerator. Por lo tanto, $\mathcal{C}(f, A) : \mathcal{C}(Y, A) \to \mathcal{C}(X, A)$ es un isomorfismo si y sólo si $f : X \to Y$ es un isomorfismo en $\mathcal{C}$; en otras palabras, $\mathcal{C}(-, A) : \mathcal{C}^\textrm{op} \to \textbf{Ab}$ es un conservador functor.
Ahora, es un hecho general de que el conservador functors reflejar todos los límites y colimits que se conservan, por lo que esto implica $\mathcal{C}(-, A)$ refleja exacta de las secuencias. Por ejemplo, supongamos que tenemos un complejo de cadena en $\mathcal{C}$ $$X \longrightarrow Y \longrightarrow Z \longrightarrow 0$$ cuya imagen en $\textbf{Ab}$ es exacta: $$0 \longrightarrow \mathcal{C}(Z, A) \longrightarrow \mathcal{C}(Y, A) \longrightarrow \mathcal{C}(X, A)$$ Ahora calcular la cokernel en $\mathcal{C}$, de modo que se obtiene una secuencia exacta $$X \longrightarrow Y \longrightarrow C \longrightarrow 0$$ y la característica universal de $C$ asegura que hay una cadena de morfismos de este complejo a la primera; pero debido a que la imagen de la primera complejo ya es exacto, la imagen de los morfismos $C \to Z$ debe ser un isomorfismo en $\textbf{Ab}$, lo $C \to Z$ sí debe ser un isomorfismo en $\mathcal{C}$, y por lo tanto el primer complejo que debe ser exacto en $\mathcal{C}$.
