5 votos

¿Por qué esta ecuación es correcta?

Estoy repasando las clases de análisis numérico de la Universidad de Pensilvania, que se pueden encontrar aquí . Estoy un poco confundido con la ecuación 1.1.9 en la página 6-7.

La ecuación es $y'(x) + a(x)y(x) = b(x)$ . Las notas dicen que esto se puede reescribir como

$$a^{-A(x)}d(a^{A(x)}y(x)) = b(x)$$ donde $A(x)$ es una antiderivada de $a(x)$ . Por lo tanto, tenemos que $$y'(x) + a(x)y(x) = a^{-A(x)}d(a^{A(x)}y(x)).$$

¿Por qué? No puedo pasar de la primera ecuación a la otra.

4voto

A.E Puntos 1540

No ha transcrito las notas correctamente. Las notas dicen que hay que tener en cuenta $$y'(x) + a(x) y(x) = b(x)$$

Entonces reescribimos esta ecuación en la forma equivalente

$$e^{-A(x)} \dfrac{d}{dx} \left( e^{A(x)} y(x) \right) = b(x)$$

¿Por qué es esto correcto? Porque si aplicamos el operador de la derivada en el lado izquierdo, obtenemos

$$e^{-A(x)} \left(A'(x) e^{A(x)} y(x) + e^{A(x)} y'(x) \right) = A'(x)y(x) + y'(x) = b(x)$$

y recordar $A'(x) = a(x)$ .

2voto

Esto se llama factor integrador. Si multiplicamos toda la ecuación por $\exp\left(\int a(x)\,dx\right)$ obtenemos

$$e^{\int a(x)\,dx}y'(x)+a(x)e^{\int a(x)\,dx}y(x) = b(x)e^{\int a(x)\,dx}.$$

Consideremos $\left(e^{\int a(x)\,dx}y(x)\right)'$ . Por la regla del producto, obtenemos

$$\left(e^{\int a(x)\,dx}\right)'y(x) + e^{\int a(x)\,dx}y'(x).$$

Además,

$$\left(e^{\int a(x)\,dx}\right)' = e^{\int a(x)\,dx}\left(\int a(x)\,dx\right)' = a(x)e^{\int a(x)\,dx}.$$

Así podemos realizar $\left(e^{\int a(x)\,dx}y(x)\right)'$ como $a(x)e^{\int a(x)\,dx}y(x)+e^{\int a(x)\,dx}y'(x).$ Así que nuestra expresión global es

$$\left(e^{\int a(x)\,dx}y(x)\right)' = e^{\int a(x)\,dx}b(x).$$

Multiplicando ambos lados por $e^{-\int a(x)\,dx}$ da el resultado. Ver mi respuesta aquí para una exposición mucho más detallada sobre este asunto.

2voto

Gudmundur Orn Puntos 853

Esto es engañosamente anticlimático, y en una frase la respuesta es la regla del producto de la diferenciación Con esto quiero decir que $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ .

Reclamación :

$$e^{-A(x)}\frac{d}{dx} \left(e^{A(x)}y(x))\right) = y'(x) + a(x)y(x)$$

Prueba: tomemos la derivada de la izquierda.

$$\frac{d}{dx} \left( d^{A(x)}y(x)\right) = e^{A(x)}a(x)y(x) + e^{A(x)}y'(x),$$

de modo que al multiplicar por $e^{-A(x)}$ da exactamente lo que queremos. $\diamondsuit$

En términos de ecuaciones diferenciales, este tipo de método suele llamarse factor integrador .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X