Isomorfismos difeológicos entre toros irracionales.

Question

Este es el ejercicio 4 del capítulo 1 del libro "diffeology" por Patricio Iglesias-Zemmour.

Deje $\alpha \in \mathbb{R}$ $\beta \in \mathbb{R}$ ser números irracionales. Definir el irracional (no conmutativa) torus $T_{\alpha} = \mathbb{R}/(\mathbb{Z}+ \alpha \mathbb{Z})$, y definir $T_{\beta}$ de forma análoga. Deje $\pi_{\alpha}: \mathbb{R} \rightarrow T_{\alpha}$ ser canónica de la proyección, y de la misma manera para $\pi_{\beta}$.

Un diffeology en $T_{\alpha}$ es de la colección de mapas de $P: U \rightarrow T_{\alpha}$ donde $U$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n}$ algunos $n$. Los miembros de la diffeology se llaman parcelas. El diffeology nos gustaría a considerar es la siguiente.

Un mapa de $P: U \rightarrow T_{\alpha}$ es una parcela si por cualquier $r \in U$, existe un abierto vecindario $V_{r}$$r$, y un buen mapa de $Q: V_{r} \rightarrow T_{\alpha}$ tal que $\pi_{\alpha} \circ Q = P|_{V_{r}}$. En otras palabras, las parcelas son los mapas que localmente factor a través de un suave mapa de $Q: V \rightarrow \mathbb{R}$.

Podemos dotar $\mathbb{R}$ con un diffeology: las parcelas son de la suave mapas. Un mapa entre diffeological espacios es suave si envía las parcelas a las parcelas.

Reclamo: si $f: T_{\alpha} \rightarrow \mathbb{R}$ es suave, a continuación, $f$ es constante.

Permítanme esbozar una prueba. Si $f$ es para ser suave, a continuación, $f \circ \pi_{\alpha}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ debe ser suave. (Esto se deduce del hecho de que $\pi_{\alpha}$ es un complot, y por lo tanto $f \circ \pi_{\alpha}$ debe ser de una parcela). Si $f$ no es constante, $f \circ \pi_{\alpha}$ no es continua. Esto puede ser visto directamente de la siguiente manera. Deje $t,t' \in T_{\alpha}$ tal que $f(t) \neq f(t')$. A continuación, elegimos $\epsilon = |f(t) - f(t')|/2 > 0$. Ahora si $\delta > 0$, entonces no existe$x, x' \in \mathbb{R}$,$|x - x'| < \delta$$\pi_{\alpha}(x) = t$$\pi_{\alpha}(x') = t'$, (esto es debido a que $\mathbb{Z} + \alpha \mathbb{Z}$ es denso en $\mathbb{R}$). Por último, vemos a $|f \circ \pi_{\alpha}(x) - f \circ \pi_{\alpha}(x')| = |f(t) - f(t')| > \epsilon$.

Ahora viene la parte que me preocupa.

Problema: Vamos a $f: T_{\alpha} \rightarrow T_{\beta}$ ser suave. Entonces existe un intervalo $J \subset \mathbb{R}$ y un afín mapa de $F:J \rightarrow \mathbb{R}$, de tal manera que $\pi_{\beta} \circ F = f \circ \pi_{\alpha}|_{J}$. Además $F$ puede ser extendido affinely a $\mathbb{R}$.

Tengo algunos avances. Como antes, si $f$ es suave, a continuación, $f \circ \pi_{\alpha}: \mathbb{R} \rightarrow T_{\beta}$ es un complot. Esto significa que existe un intervalo abierto $I$ y un suave mapa de $Q:I \rightarrow \mathbb{R}$, de tal manera que \begin{equation} f \circ \pi_{a}|_{I} = \pi_{\beta} \circ Q. \end{equation} Mi sospecha es que el mapa de $Q$ es el mapa $F$ que estamos buscando. Sin embargo, no sé cómo demostrar que $Q$ es un afín mapa. El ejercicio de las sugerencias que me debe utilizar el hecho de que $\mathbb{Z} + \alpha \mathbb{Z}$ es denso en $\mathbb{R}$, pero yo no veo cómo aplicar esto. Yo tenía la idea de demostrar que la derivada de $Q:I \rightarrow \mathbb{R}$ es constante, pero realmente no hacer ningún progreso.

Answer 1

Desde $f$ es suave vemos que $f\circ\pi_\alpha:\mathbb{R}\to T_\beta$ es un complot. Por lo tanto, existe cierta abrir vecindario $I$ (sin pérdida de generalidad podemos suponer que es un intervalo abierto) y algo de suave mapa de $Q:I\to\mathbb{R}$ tal que $$\pi_\beta\circ Q = f\circ\pi_\alpha|_{I}.$$ Tenga en cuenta que para todos los $x\in I\subseteq \mathbb{R}$, $n,m\in\mathbb{Z}$ la satisfacción de $x+n+\alpha m\in I$ hemos $$\pi_\beta\circ Q(x+n+\alpha m)=f\circ\pi_\alpha(x+n+\alpha m) = f\circ\pi_\alpha(x) = \pi_\beta\circ Q(x).$$ Desde $\pi_\beta:\mathbb{R}\to T_\beta$ es la natural proyección de mapa podemos ver que existe enteros $l,k\in\mathbb{Z}$ satisfactorio $$Q(x + n + \alpha m)=Q(x) + l + \beta k.$$ Tenga en cuenta que desde $\beta$ es irracional que $l=l(x,n,m)$ $k=k(x,n,m)$ son únicos.

Corregir algún punto de $y\in I$. Desde $I$ es un intervalo en el que podemos encontrar algunos intervalo de $J\subseteq I$ centrada en $y$ y otro intervalo de $U\subseteq\mathbb{R}$ centrada en $0$ tal que $x\in J$ $n+\alpha m\in U$ implica que el$x+n+\alpha m\in I.$, Además, por la reducción de la $J$ podemos asegurar que $J\subseteq y + U.$ Desde $Q$ es continua y $\mathbb{Z}+\alpha\mathbb{Z}$ está totalmente desconectado, vemos que $$l + \beta k=Q(x+n+\alpha m) - Q(x)$$ must be constant as a function of $x$ in $J$ - this follows since the image of a connected set under a continuous map remains connected. Now we use the fact that $P$ es suave y que la derivada de una función constante es cero para deducir $$Q'(x)=Q'(x+n+\alpha m)$$ para todos los $x\in J$. En particular, tenemos que $Q'(y)=Q'(y+n+\alpha m)$ todos los $(n,m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ tal que $n+\alpha m\in U.$

Ahora vamos a utilizar la sugerencia de que $\mathbb{Z}+\alpha\mathbb{Z}$ es denso en $\mathbb{R}$. En particular, tenemos que $\mathbb{Z}+\alpha\mathbb{Z}$ es denso en $U$. Ahora fix $x\in J$ y desde $J\subseteq y + U$ podemos utilizar la densidad de encontrar una secuencia $\{(n_i,m_i)\}_{i\in\mathbb{N}}\subseteq\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ tal que $n_i+\alpha m_i\in U$ y $$y+n_i+\alpha m_i\to x\quad\text{as }i\to+\infty.$$ Since $Q'$ es continua podemos ver que $$Q'(x)=\lim_{i\to+\infty}Q'(y+n_i + \alpha m_i) = Q'(y).$$ Por lo tanto $Q'$ es constante en $J$, e $Q|_J$ es afín, es decir no existe $a,b\in\mathbb{R}$ tal que $$Q(x)=ax + b\quad\text{for all }x\in J.$$

Ahora, tomando $F=Q$ en la pregunta declaración de que estamos hecho.