Propiedades caracterizadas por un módulo Ext o Tor desaparecido

Question

Mientras que la lectura de Weibel, "Una introducción al álgebra homológica", me he dado cuenta de que muchas de las propiedades de un módulo se caracteriza por la desaparición de algunos Tor o Ext. Revisión a (conmutativa) anillo de $R$ y deje $\textrm{Mod}_R$ denotar la categoría de $R$-módulos, a continuación 2 ejemplos de este fenómeno son los siguientes.

$\bullet$ Un módulo de $B \in \textrm{Mod}_R$ plano iff $\textrm{Tor}_1^R(A,B) = 0$ todos los $A \in \textrm{Mod}_R$.

$\bullet$ La dimensión proyectiva de $A \in \textrm{Mod}_R$ $\leq d$ fib $\textrm{Ext}_{R}^{d+1}(A,B) = 0$ todos los $B \in \textrm{Mod}_R$ (no son análogas declaraciones plana/inyectiva dimensiones).

¿Qué otras propiedades de los módulos puede ser caracterizado de esta manera? Hay un amplio 'tema' dictando cuando estas caracterizaciones surgir?

Edit: si la condición dada, puede ser interpretado como diciendo algo acerca de la geometría de $\textrm{Spec }(R)$, yo estaría muy interesado en escuchar!

Answer 1

Algunos ejemplos más:

1. A veces también pueden restringir la clase de prueba de los módulos: Por ejemplo, por Baer criterio, a la izquierda $R$-módulo de $M$ es inyectiva si y sólo si $\text{Ext}^1_R(R/I,M)=0$ para todos los ideales de la izquierda $I\lhd R$.

   Es interesante notar, sin embargo, que esto no es posible para los módulos proyectivos: fue demostrado por Trlifaj que es consistente con la $\textsf{ZFC+GCH}$ que los no-perfecto anillo tiene una "prueba-módulo para projectivity'. Esto es debido a la alta asimetría en las propiedades de módulo de categorías, o más en general, Grothendieck categorías: filtrada colimits son necesarios para ser exactos, pero no hay ningún requisito similar para los límites.

   Como un ejemplo famoso, el de Whitehead problema pregunta si ${\mathbb Z}$ es una prueba de módulo para projectivity ${\mathbb Z}$.

2. A través de una Noetherian anillo local $(R,{\mathfrak m})$ con residuos de campo $k := R/{\mathfrak m}$, a menudo se puede restringir a la consideración de $\text{Ext}$ o $\text{Tor}$ grupos de una $R$-módulo de con $k$. Por ejemplo: el proyectiva plana/de la dimensión de una finitely generadas $R$-módulo de $M$ es el mayor $n\geq 0$ tal que $\text{Ext}^n_R(M,k)\neq 0$, y también el más grande de $n\geq 0$ tal que $\text{Tor}_n^R(M,k)\neq 0$. Del mismo modo, el inyectiva dimensión es la más grande de $n\geq 0$ tal que $\text{Ext}^n_R(k,M)\neq 0$, y la profundidad es el más pequeño de $n\geq 0$ tal que $\text{Ext}^n_R(k,M)\neq 0$.

3. Muchas clases de surgir como la izquierda o hacia la derecha ortogonal con respecto a $\text{Ext}^1_R$ de otra clase. Se estudian bajo el nombre de cotorsion pares: Un cotorsion par es un par $({\mathcal C},{\mathcal D})$ de las clases de $R$-módulos, decir, que ${\mathcal C} = {^{\perp}}{\mathcal D}$ ${\mathcal D}={\mathcal C}^{\perp}$ donde $(-)^{\perp}$ ${^{\perp}}(-)$ denotar a la derecha y a la izquierda-ortogonal con respecto a $\text{Ext}^1_R$, respectivamente.

Answer 2

Aquí hay algunos ejemplos más específicos de la teoría de la representación.

Voy a tomar ejemplos de la representación de la reductora algebraica de los grupos, pero la mayoría de esto se generaliza, por ejemplo, el complejo de semisimple álgebras de Lie.

Así que vamos a $G$ ser una reductora algebraica de grupo sobre el algebraicamente cerrado campo de $k$ y deje $B$ ser un fijo Borel subgrupo.

Si $\lambda$ $1$- dimensiones de la representación de $B$, definimos $\nabla(\lambda)$ $G$- módulo inducida por la de $\lambda$ (que es finito-dimensional). También definimos $\Delta(\lambda)$ a ser el doble de $\nabla(\lambda')$ donde $\lambda' = -w_0(\lambda)$ $w_0$ es el mayor elemento del grupo de Weyl para $G$ (para más detalles de este, uno debe ver por ejemplo Jantzen del libro).

Una filtración de un $G$-módulo se llama bueno si los sucesivos cocientes son isomorfos a los módulos de la forma $\nabla(\lambda)$ adecuado $\lambda$. Es entonces un resultado de Donkin que un finito dimensionales $G$-módulo de $M$ tiene una buena filtración si y sólo si $\operatorname{Ext}_G^1(\Delta(\lambda),M) = 0$ todos los $\lambda$.

Como ya he mencionado, el anterior también funciona para el complejo de álgebras de Lie, donde el $\Delta(\lambda)$ corresponden a Verma módulos, y el $\nabla(\lambda)$ son el doble Verma módulos.

Volviendo al caso de la algebraicas grupos, tenga en cuenta que si $k$ tiene características de las $0$, a continuación, toda esta historia es en gran parte interesante, ya que todos los módulos involucrados son semisimple. Pero en característica positiva, se vuelve mucho más interesante.
Un ejemplo más de la anterior puede obtenerse si introducimos algunos módulos adicionales. Ahora suponemos que $k$ tiene características de las $p> 0$ (este es bastante largo y el siguiente ejemplo es bastante específico, lo que pasa es que le gusta mucho porque he hecho un montón de investigación sobre este tema).

Entre los módulos de la forma $\nabla(\lambda)$ hay algunos que son especialmente agradables, es decir, $\nabla((p^r-1)\rho)$ donde $\rho$ es la mitad de la suma de los positivos de las raíces (estoy omitiendo todos los detalles de lo que esto realmente significa y cómo este es un $B$-módulo). Llamamos a estos Steinberg módulos y denotan ellos por $\operatorname{St}_r$. Lo que necesitamos ahora sobre ellos, ahora, es que en realidad son simples y también isomorfo a $\Delta((p^r-1)\rho)$.

El ejemplo que tengo en mente es que el $\operatorname{St}_r\otimes M$ tiene una buena filtración si y sólo si $\operatorname{Ext}_G^1(\Delta^{(p,r)}(\lambda),M) = 0$ todos los $\lambda$. No voy a entrar en la definición de la $\Delta^{(p,r)}(\lambda)$ aquí, ya que se necesitaría demasiado detalles adicionales (que pueden encontrarse en mi papel con Dan Nakano http://arxiv.org/abs/1403.7011). Uno de los principales intereses de este criterio es que conjecturally es equivalente a la existencia de un cierto tipo de filtración en $M$, aunque hasta el momento esto es sólo una conjetura. Una dirección se sabe cuando la principal es lo suficientemente grande (un resultado de Andersen) o en algún pequeño rango de los casos. En la otra dirección, a la mejor hasta el momento es que una consecuencia de la misma (que la $\nabla(\lambda)$ tiene este tipo de filtración) es conocido por ser cierto cuando la principal es lo suficientemente grande que la Lusztig conjetura (con un resultado de Parshall y Scott).

Answer 3

Mi favorito es el Castelnuovo-Mumford Regularidad, que se puede caracterizar por la desaparición de Ext o Tor equivalentemente. No lo describiré aquí ya que hay muchas referencias, por ejemplo Eisenbud o Bruns y Herzog. Muchas otras fuentes en línea también. Sin embargo, para darle una idea, la regularidad del CM tiene que ver con la "complejidad" de los módulos clasificados.