Forma más fácil de descubrir el área de un triángulo rectángulo

Question

En el triángulo rectángulo siguiente: $y-x=5$ y la altura a la hipotenusa es 12. Calcula su área.

He logrado descubrir su área usando el siguiente método, pero termina con una ecuación de cuarto grado para resolver. ¿Hay una manera más fácil de resolver el problema?

$ha=xy \Rightarrow 12 \sqrt{x^2+y^2} = xy$

Sustituye $y=5+x$ y eleva al cuadrado ambos lados:

$144 (x^2 + (5+x)^2)=x^2 (5+x)^2 \Rightarrow x^4+10x^3-263x^2-1440x-3600=0$

Cuya única solución positiva es $x=15$ y por lo tanto $y=20$ y el área es $\frac{15 \cdot 20 }{2}=150$

Gracias de antemano.

Answer 1

Elevar al cuadrado ambos lados de la relación $(x-y)=5$; luego aplicar Pitágoras, dando

$\tag{1}x^2+y^2-2xy=25 \Leftrightarrow a^2-2xy=25$

Además, el área $S$ del triángulo se puede calcular de dos maneras:

$\tag{2}S=\frac{xy}{2}=\frac{12a}{6}=6a$

Sustituyendo el valor de $a$ obtenido de (2) en (1), se obtiene una ecuación cuadrática en la variable $S$ que da como resultado el valor buscado para $S$. Esta ecuación es

$$\left(\frac{S}{6}\right)^2-4S=25 \ \ \Leftrightarrow \ \ S^2-144S-900=0$$

cuyas raíces son $S=150$ (la respuesta única) y $S=-6$, ésta última no tiene significado geométrico.

Answer 2

Un poco más fácil: Escriba el área desconocida como $A:=xy/2$. A partir de $12 \sqrt{x^2+y^2} = xy$ deducimos $$x^2+y^2=(A/6)^2.$$ Sustituya esto en $x^2-2xy+y^2=25$. Esto le da una cuadrática para $A$: $$\left(\frac A6\right)^2-4A-25=0$$

Answer 3

Tienes dos formas de llegar a la zona. $A = \frac 12 xy = 6\sqrt{(x^2 + y^2)}$

y sabes: $(x-y) = 5$

$(x-y)^2 = 25\\ x^2 + y^2 - 2xy = 25\\ x^2 + y^2 = 25 + 4A$

Sustituye esto en la ecuación anterior para las áreas.

$A = 6\sqrt{25 + 4A}$ eleva ambos lados al cuadrado y resuelve la cuadrática

$A^2 = 36(25 + 4A)\\ A^2 - 144A - 900 = 0\\ (A - 150)(x+6) = 0\\ A = 150$

Answer 4

Debido a la similitud de dos partes del triángulo rectángulo

$$(h/x)^2 + (h/y)^2 = 1 ; \, ( 1/x^2 + 1/y^2) = 1/144$$

Se da que $y = x + 5$

Resuelve para $x,y$ eligiendo correctamente el signo de $\pm$ y luego encuentra $xy/2.$