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Forma más fácil de descubrir el área de un triángulo rectángulo

En el triángulo rectángulo siguiente: $y-x=5$ y la altura a la hipotenusa es 12. Calcula su área.

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He logrado descubrir su área usando el siguiente método, pero termina con una ecuación de cuarto grado para resolver. ¿Hay una manera más fácil de resolver el problema?

$ha=xy \Rightarrow 12 \sqrt{x^2+y^2} = xy$

Sustituye $y=5+x$ y eleva al cuadrado ambos lados:

$144 (x^2 + (5+x)^2)=x^2 (5+x)^2 \Rightarrow x^4+10x^3-263x^2-1440x-3600=0$

Cuya única solución positiva es $x=15$ y por lo tanto $y=20$ y el área es $\frac{15 \cdot 20 }{2}=150$

Gracias de antemano.

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JeanMarie Puntos 196

Elevar al cuadrado ambos lados de la relación $(x-y)=5$; luego aplicar Pitágoras, dando

$\tag{1}x^2+y^2-2xy=25 \Leftrightarrow a^2-2xy=25$

Además, el área $S$ del triángulo se puede calcular de dos maneras:

$\tag{2}S=\frac{xy}{2}=\frac{12a}{6}=6a$

Sustituyendo el valor de $a$ obtenido de (2) en (1), se obtiene una ecuación cuadrática en la variable $S$ que da como resultado el valor buscado para $S$. Esta ecuación es

$$\left(\frac{S}{6}\right)^2-4S=25 \ \ \Leftrightarrow \ \ S^2-144S-900=0$$

cuyas raíces son $S=150$ (la respuesta única) y $S=-6$, ésta última no tiene significado geométrico.

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¿Te importaría resolver esto o marcarlo como una pista?

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Usted tiene toda la razón. El primer borrador fue horrible...

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@Bernard. Tienes razón. ¡Gracias! Lo corrijo.

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grand_chat Puntos 4103

Un poco más fácil: Escriba el área desconocida como $A:=xy/2$. A partir de $12 \sqrt{x^2+y^2} = xy$ deducimos $$x^2+y^2=(A/6)^2.$$ Sustituya esto en $x^2-2xy+y^2=25$. Esto le da una cuadrática para $A$: $$ \left(\frac A6\right)^2-4A-25=0 $$

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Doug M Puntos 51

Tienes dos formas de llegar a la zona. $A = \frac 12 xy = 6\sqrt{(x^2 + y^2)}$

y sabes: $(x-y) = 5$

$(x-y)^2 = 25\\ x^2 + y^2 - 2xy = 25\\ x^2 + y^2 = 25 + 4A$

Sustituye esto en la ecuación anterior para las áreas.

$A = 6\sqrt{25 + 4A}$ eleva ambos lados al cuadrado y resuelve la cuadrática

$A^2 = 36(25 + 4A)\\ A^2 - 144A - 900 = 0\\ (A - 150)(x+6) = 0\\ A = 150$

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Narasimham Puntos 7596

Debido a la similitud de dos partes del triángulo rectángulo

$$ (h/x)^2 + (h/y)^2 = 1 ; \, ( 1/x^2 + 1/y^2) = 1/144 $$

Se da que $ y = x + 5 $

Resuelve para $x,y$ eligiendo correctamente el signo de $\pm$ y luego encuentra $xy/2.$

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