Con respecto a la suma$\sum_{p \ \text{prime}} \sin p$

Question

Estoy muy seguro de que $$\sum_{p \ \text{prime}} \sin p $$

diverge. Por supuesto, es suficiente para mostrar que no son arbitrariamente grande de los números primos que no están en el conjunto de $\bigcup_{n \geq 1} (\pi n - \epsilon, \pi n + \epsilon)$ suficientemente pequeño $\epsilon$. Con más fuerza, parece que $\sin p$ primer $p$ es denso en $[-1,1]$.

Este problema no parece difícil, sin embargo. Aquí hay algo que me parece más difícil.

Si $p_n$ es el enésimo número primo, ¿qué es $$\limsup_{n \to +\infty} \sum_{p \ \text{prime} \leq p_n} \sin p?$$ ¿Qué es $$\sup_{n \in \mathbb{N}} \sum_{p \ \text{prime} \leq p_n} \sin p? $$

Por supuesto, podemos pedir análoga preguntas para $\inf$.

Estoy feliz con respuestas parciales o ideas. Por ejemplo, es un mero límite superior.

Answer 1

Mi respuesta a esta pregunta sólo incluye los resultados parciales. En primer lugar, utilizamos Vinogradov la desigualdad:

Deje $\alpha$ ser un número real. Si los enteros $a$ $q$ satisface $(a,q)=1$ y $$ \left| \alpha \frac aq \right| \leq \frac 1{p^2}, $$ entonces $$ \sum_{n\leq N} \Lambda(n) e^{2\pi i \alpha n} = O\left( (Nq^{-1/2} +N^{4/5} + N^{1/2}p^{1/2} ) (\log N)^4 \right) $$

Con un error de $O(N^{1/2+\epsilon})$, se obtiene el mismo límite superior para $\sum_{p\leq N} (\log p) \cdot e^{2\pi i \alpha p}$.

Ya tenemos la finitud de la irracionalidad medida de $\pi$ : ver esto, podemos utilizar la continuación de la fracción convergents $a/q$$\alpha = 1/(2\pi)$. Por lo tanto, es posible encontrar un denominador $q$ de la continuación de la fracción convergente de $1/(2\pi)$ tal que $N^{1/7}<q<N^{99/100}$. A continuación, Vinogradov la desigualdad de los rendimientos que no es $\delta>0$ tal que $$ \sum_{p\leq N} (\log p)e^{i, p} = O(N^{1-\delta}). $$

Ahora, parcial suma da para algunos $\delta>0$, $$ \sum_{p\leq N} e^{ip} = O(N^{1-\delta}). $$

Por lo tanto, teniendo imaginaria, $$ \left|\sum_{p\leq N} \sin p \right| = O(N^{1-\delta}). $$ Con este resultado y parcial suma, obtenemos que $$ \sum_{p \ \mathrm{prime} } \frac{\sin p}p $$ converge.

Será posible encontrar la mejor $\delta>0$ en el límite superior: $$ \left|\sum_{p\leq N} \sin p \right| = O(N^{1-\delta}) $$ mediante el uso de Vinogradov la desigualdad de manera más eficiente.