Encuentre $f(x)$ tal que $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x)\cdot f\left(\frac{1}{x}\right)$

Question

Dado un polinomio $f(x)$ de grado n tal que

$$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x)\cdot f\left(\frac{1}{x}\right)$$

Halla el polinomio

He intentado considerar $f(x)=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i}x^{i}$ y despues de varios pasos finalmente llegue a la respuesta.Sin embargo no estoy convencido.Hay alguna manera mejor de resolver esta ecuación funcional.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Pista: $$f(x) = 1 + \frac{1}{f(\frac{1}{x})-1}$$

Así que $f(x) - 1 = \frac{x^n}{P(x)}$ , donde P(x) es un polinomio de grado $\le n$ . El lado izquierdo es un polinomio, por lo que $P(x) = a x^k$ para algunos $k$ . Ahora $a$ y $k$ se puede hallar a partir de la propia ecuación funcional. Pero, como señala Barry Cipra en los comentarios, puesto que el lado izquierdo de la igualdad que define $P$ tiene grado $n$ el único valor posible para $k$ es $0$ .

Answer 2

Supongamos que $f(x)=c$ es constante. Entonces llegamos a $c+c=c\cdot c$ es decir $c=0$ o $c=2$ .

En caso contrario, escriba $f(x)=c+x^kg(x)$ donde $k\ge1$ y $g(0)\ne0$ . Entonces para $x\ne0$ $$2c+x^kg(x)+x^{-k}g(x^{-1})=f(x)+f(\frac1x)=f(x)f(\frac1x)=cx^kg(x)+c^2+cx^{-k}g(x^{-1})+g(x)g(\frac1x)$$ Al observar la mayor potencia que se produce en $g$ vemos $c=1$ por lo que se simplifica a $$ g(x)g(\frac1x)=1$$ así que $g$ es un monomio, por lo tanto constante. Por lo tanto $f(x)=1+ax^k$ y comprobamos además que $a=\pm1$ . Así pues, la lista completa de soluciones es $$ f(x)=0,\qquad f(x)=2,\qquad f(x)=1\pm x^k\text{ with }k\ge1$$

Answer 3

$$f(y) = 1+y$$

$$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right) = 1+x+1+\frac{1}{x} = 2 + x + \frac{1}{x}$$

$$f(x) f\left(\frac{1}{x}\right) = (1+x) \left ( 1+\frac{1}{x}\right) = 1 + x + \frac{1}{x} + x \frac{1}{x} = 2 + x + \frac{1}{x}$$

De hecho, $f(y) = 1+y^k$ para $k \in \mathbb{N}$ parece funcionar por la misma razón.

Answer 4

Una ligera variación de @detnvpp utilizando el teorema fundamental del álgebra. Conjunto $g(x)=f(x)-1$ entonces $$g(x)g\left(\frac{1}{x}\right)=(f(x)-1)\left(f\left(\frac{1}{x}\right)-1\right)=f(x)f\left(\frac{1}{x}\right)-f(x)-f\left(\frac{1}{x}\right)+1=1, \forall x\ne 0 $$

si $\alpha \ne 0$ es un cero del polinomio $g(x)$ entonces $g(\alpha)g(\frac{1}{\alpha})=0$ . Eso contradice $g(x)g\left(\frac{1}{x}\right)=1$ . Por lo tanto $g(x)$ no tiene ceros y es constante o $g(x)$ tiene exactamente un cero $\alpha=0$ para. En el primer caso $g(x)=\pm 1$ y por lo tanto $f(x)=0$ o $f(x)=2$ . En el segundo caso $g(x)=x^n$ debido a $\left(g(1)\right)^2=1$ y por lo tanto $f(x)=1 \pm x^n$

Answer 5

Supongamos que el grado de $f$ es mayor o igual que $1$ . Si $g(x)=f(x)-1$ entonces $g$ es un polinomio, y $$g(x)g\left(\frac{1}{x}\right)=(f(x)-1)\left(f\left(\frac{1}{x}\right)-1\right)=f(x)f\left(\frac{1}{x}\right)-f(x)-f\left(\frac{1}{x}\right)+1=1.$$ Entonces $g(0)=0$ esto puede verse en la ecuación anterior después de tomar el límite como $x\to\infty$ . Así que.., $\frac{g(x)}{x}$ es un polinomio que satisface la misma ecuación, con grado uno menos que el grado de $g$ . Por lo tanto, si $g$ es de grado $n$ por inducción se tiene que $\frac{g(x)}{x^n}$ debe ser constante e igual a $\pm1$ . Así que.., $f(x)=1\pm x^n$ .