Nombre del módulo correspondiente a una matriz cuadrada

Question

Hace poco me enteré de que para cada una de las $n \times n$ matriz $A$ con entradas en algún campo $F$, con la correspondiente $F[x]$-módulo de $M_A$. Es decir, $M_A$ es el conjunto $F^n$ con la adición de vectores definidos como de costumbre, pero con la multiplicación escalar definido por $f(x) \cdot v = f(A) \, v$ por cada $f(x) \in F[x]$. Mi pregunta es si hay un nombre para el módulo de $M_A$, y si es así, ¿qué es?

Yo siento que esto es un poco de una pregunta trivial, pero he mirado y he sido incapaz de encontrar una respuesta. Si esta pregunta es inadecuado para este sitio, por favor no dude en hacérmelo saber. Gracias.

Answer 1

Una cosa que podemos decir es que el mapa de $\Phi_A: \Bbb F[x] \to \Bbb F^{n \times n}$ $\Phi_A(f) = f(A)$ es un álgebra homomorphism. De hecho, podríamos ser capaces de decir algo como $\Phi_A$ es el natural homomorphism inducida por $A$. Con la teoría de la representación en la mente, podríamos llamar a esto la representación de $\Bbb F[x]$ inducida por $A$.

Habiendo dicho todo esto, $f(x)\cdot v$ podría ser llamado la multiplicación inducida por la representación $\Phi_A$. El módulo resultante es probablemente mejor se conoce como la imagen de esta representación.