Confusión sobre la "composición horizontal" de las transformaciones naturales

Question

Tengo problemas con un ejercicio de Álgebra Homológica de Rotman. Tiene que ver con lo que Wikipedia llama " composición horizontal " de las transformaciones naturales. En concreto, dado $F, G:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ y $F^\prime, G^\prime:\mathcal{B}\to\mathcal{C}$ funtores covariantes y $\sigma:F\to G$ y $\tau:F^\prime\to G^\prime$ transformaciones naturales, el objetivo es demostrar que existe una transformación natural compuesta $\tau\sigma: F^\prime F\to G^\prime G$ .

Debería haber una "elección natural" para el morfismo $(\tau\sigma)_A$ asociado a cualquier $A\in\operatorname{obj}\mathcal{A}$ Y aquí es donde estoy confundido. El problema dice que hay que definir $$(\tau\sigma)_A=\tau_{FA}\sigma_A : F^\prime F(A)\to G^\prime G(A)$$ pero esto no tiene sentido para mí ya que $\tau_{FA}\in\operatorname{Hom}(F^\prime F(A),G^\prime F(A))$ y $\sigma_A\in\operatorname{Hom}(FA,GA)$ (¿verdad?). No me queda claro por qué esta es la composición correcta, o que incluso es una composición.

Si tuviera que adivinar, diría que $(\tau\sigma)_A:=\tau_{GA}F^\prime(\sigma_A)$ porque esto es lo único que se me ocurre que realmente es un morfismo $F^\prime F(A)\to G^\prime G(A)$ .

¿Puede alguien aclarar mi confusión?

Answer 1

Su suposición es correcta, pero además $\tau_{GA}\circ F'(\sigma_A)$ , hay otro elección natural, a saber: $$(\tau\sigma)_A=G'(\sigma_A)\circ \tau_{FA}\,,$$ y la cuestión es que son iguales .

Para ser sincero, no tengo ni idea de dónde está el $\tau_{FA}\sigma_A$ podría venir de.. Podría ser un error tipográfico

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Obsérvese también que si definimos las transformaciones naturales como funtores $\mathcal A\to\mathcal B^\to$ , donde $\mathcal B^\to$ denota la categoría de flecha de $\mathcal B$ cuyos objetos son las flechas de $\mathcal B$ y cuyos morfismos son cuadrados conmutativos en $\mathcal B$ , entonces llegamos a

$(\tau\sigma)_A \ =\ $ la composición común del cuadrado $\tau(\sigma_A)$ .