¿Cuál es la distribución correcta del tiempo entre llegadas en un proceso de Poisson?

Question

Dado un proceso de Poisson (por ejemplo, la desintegración radiactiva) con tasa de $\lambda$, entonces la expresión $\exp(-\lambda t)$ es la probabilidad de observar no cuenta en el tiempo de intervalo de $t$. Esto puede ser interpretado (después de normalización) como de la distribución de probabilidad (distribución exponencial) de los intervalos de tiempo durante el cual no se cuenta son observados.

Se dice a menudo que esto también puede ser interpretado como la distribución de los tiempos entre los recuentos. Aunque estoy seguro de que esto es correcto, no estoy de acuerdo: la distribución de los intervalos de tiempo en los que no cuenta son observadas es diferente de la distribución de los intervalos de tiempo entre los recuentos.

Agradecería una explicación. He aquí mi razonamiento.

Estoy de acuerdo con la distribución exponencial es la distribución del tiempo para la primera llegada, ya que el tiempo de origen (cronómetro) se inició en un no-tiempo específico. Sin embargo, el segundo de la hora de llegada debe ser medido con respecto a la primera, que es un tiempo conocido.

Tomemos, por ejemplo, una baja de la tasa de recuento (por ejemplo, 5 por minuto) y un corto intervalo de tiempo (0.1 seg.). Es poco probable que se consiga una cantidad en el intervalo (es decir, la probabilidad de observar ya que cuenta es la alta> distribución exponencial). Pero eso no significa que el 0.1 seg es altamente probable intervalo de tiempo entre los sucesivos condes (todo lo contrario en realidad). De hecho, la distribución exponencial dice que lo más probable es que el intervalo es de 0.

Si inicia el cronómetro en el momento de grabar el primer recuento, el intervalo de tiempo antes de grabar un segundo recuento siga la distribución de $P(1)= (\lambda t) \exp(-\lambda t)$, que me parece ser el derecho inter-hora de llegada de distribución.

Gracias!

Answer 1

Deje $X(t)$ ser un proceso de Poisson con tasa de $\lambda$. Para cualquier momento $t>0$, $X(t)$ sigue una distribución de Poisson $\mathcal{Po}(\lambda t)$. La probabilidad de que el conde se mantiene en cero en el tiempo $t$, dado que se inicia con el cero es entonces $$ \mathbb{P}\left(X(t)=0\right) = \mathrm{e}^{-\lambda t} $$ Deje $T_1$ es el tiempo de la primer salto (una variable aleatoria). A continuación, el caso de $\{X(t) = 0\}$ es el mismo que el caso de $\{T_1 > t\}$, lo que significa que el primer salto se producirá después de la época de la $t$, es decir, $$ \mathbb{P}\left(T_1 > t\right) = \mathbb{P}\left(X(t)=0\right) = \mathrm{e}^{-\lambda t} $$ Eso significa que $T_1$ es una exponencial de la variable aleatoria, cuya densidad es $\lambda \mathrm{e}^{-\lambda t}$.

Con el fin de establecer que de Poisson entre los tiempos de llegada son también exponencial de las variables aleatorias que debemos considerar los valores del proceso en tiempos de $s$$t$, de tal manera que $s<t$. Desde el proceso de Poisson tiene incrementos independientes: $$ \mathbb{P}\left(X(s) = n, X(t) = m\right) = \mathbb{P}\left(X(s) = n, X(t) - X(s) = m -n\right) \stackrel{\text{indep. incr.}}{=} \\ \mathbb{P}\left(X(s)=n\right) \cdot \mathbb{P}\left(X(t-s)=m-n\right) = \frac{(\lambda s)^n}{n!} \mathrm{e}^{-\lambda s} \frac{(\lambda (t-s))^{m n}}{(m-n)!} \mathrm{e}^{-\lambda (t-s)} \mathbf{1}_{ m \geqslant n \geqslant 0} = \\\frac{(\lambda t)^m}{m.} \mathrm{e}^{-\lambda t} \cdot \binom{m}{n} \left(\frac{s}{t}\right)^n \left(1-\frac{s}{t}\right)^{m n} \mathbf{1}_{ m \geqslant n \geqslant 0} $$ Esto implica, por $s>0$: $$ \mathbb{P}\left(X(t+s) = n| X(t) = n\right) = \frac{\mathbb{P}\left(X(t+s) = n, X(t) = n\right)}{\mathbb{P}\left(X(t) = n\right)} = \mathrm{e}^{-\lambda s} $$ Es decir, dado que el estado del proceso en tiempos de $t$, la probabilidad de que no salto se produce dentro de $s$ segundos $\mathrm{e}^{-\lambda s}$, es decir, el tiempo para el siguiente salto es una exponencial de la variable aleatoria con tasa de $\lambda$.

Por supuesto, todo esto es una consecuencia de la independencia de los incrementos de la propiedad y el $X(t+s) - X(t) \stackrel{d}{=} X(s)$.

Answer 2

Aquí es una explicación fácil a lo que usted está preguntando:

Considerar la interarrival veces de un proceso de Poisson $(A_1, A_2,\dots)$ donde $A_i$ es el tiempo transcurrido entre la llegada a $i$ y llegada a $i+1$.

El 1 de llegada se produce después de que el tiempo $t$ fib no hay llegadas en el intervalo de $[0,t]$, por lo tanto:

$P(A_1 > t) = P(N(t) = 0) = \exp(-\lambda t)$,

lo que implica,

$P(A_1 \leq t) = 1 – \exp(-\lambda t)$,

cual es la cdf de la distribución exponencial.

Por lo tanto, la densidad es

$f(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$,

que es lo que estaba preguntando.