Prove$n^2+4n+3$ no es primo para$n \in \mathbb{Z}^{+}$.

Question

Estoy tratando de escribir una prueba para este teorema:

Para cada entero positivo$n$,$n^2+4n+3$ no es un primo.

Prueba : Let$n \in \mathbb{Z}^{+}$. Tenga en cuenta que$$n^2+4n+3=(n+1)(n+3)>1\text{,}$ $ y$n+1 >1$ y$n+3 >1$.

Permitir$a = n+1$ y$b = n+3$. Entonces tenemos$$\dfrac{(n+1)(n+3)}{a}>\dfrac{1}{a}$$ and $$\dfrac{(n+1)(n+3)}{b}>\dfrac{1}{b}\text{.}$ $ Por lo tanto,$n^2+4n+3$ no es primo. $\square$

No creo que mi prueba sea correcta y extraño muchas cosas. ¿Puede alguien darme un éxito o mostrarme cómo escribir una mejor prueba para esta pregunta?

Answer 1

No sé cuál es su definición de primo. Según Wikipedia, un número primo es un número natural mayor que$1$ que no tiene divisores positivos que no sean$1$ y sí mismo. Ya ha incluido la expresión como$(n+3)(n+1)$. Debe ser suficiente para notar que desde$n>0, n+3>n+1>1$. Dado que su expresión tiene al menos$2$ factores positivos, ninguno de los cuales es$1$, se sigue que$(n+3)(n+1)$ no es primo.

Answer 2

Una forma fácil de ir sobre esto es sólo considerar la paridad de $n$:

$n$ incluso: Tenemos que $$ (2\ell)^2+4(2\ell)+3=4\ell^2+8\ell+3=\underbrace{(2\ell+1)(2\ell+3)}_{\text{compuesto}}. $$ Por lo tanto, $n^2+4n+3$ no es un primo al $n$ es incluso.

$n$ es impar: Tenemos que $$ (2\ell+1)^2+4(2\ell+1)+3=\underbrace{2(2\ell^2+6\ell+4)}_{\text{compuesto}}. $$ Por lo tanto, $n^2+4n+3$ no es un primo al $n$ es impar.

En consecuencia, cuando se $n$ es par o impar, tenemos que $n^2+4n+3$ no es un número primo. $\Box$