Identidades de Pascal para$q$ - binomials

Question

El recursiva de identidad para la construcción de triángulo de Pascal es

$$ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}. \tag{$\circ$}$$

Esto tiene una simple combinatoria interpretación: todos los $k$-subconjunto de $\{1,\cdots,n\}$ es $k$-subconjunto de $\{1,\cdots,n-1\}$ o $(k-1)$-subconjunto de $\{1,\cdots,n-1\}$ $\{n\}$ contigua.

En la Wikipedia hay dos análogos identidades para $q$-binomios:

$$ \left[\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right]_q = q^k\left[\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right]_q + \left[\begin{array}{c} n-1 \\ k-1 \end{array}\right]_q, \tag{I}$$

$$ \left[\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right]_q=\left[\begin{array}{c} n-1 \\ k \end{array}\right]_q + q^{n-k} \left[\begin{array}{l} n-1 \\ k-1 \end{array}\right]_q. \tag{II}$$

(Podemos interpretar la $q$-binomio como el número de $k$-dimensiones de los subespacios de $\mathbb{F}_q^n$.)

La identidad de la primera $(\mathrm{I})$ $\mathbb{F}_q$- interpretación de la siguiente manera: tenemos dos casos,

1. El subespacio $V$'s de proyección en $\mathbb{F}_q^{n-1}$ aún $k$-dimensional, en cuyo caso se determina por su imagen $W$ bajo la proyección y la sección correspondiente de las $W\to V$, y que la sección es la suma de la identidad mapa en $W$ y una lineal arbitraria mapa de $W\to\mathbb{F}_qe_n$.

2. El subespacio $V$ es una suma directa de una $(k-1)$-dim subespacio de $\mathbb{F}_q^{n-1}$$\mathbb{F}_qe_n$.

Sin embargo, yo no puedo averiguar una $\mathbb{F}_q$-interpretación de la segunda identidad de $(\mathrm{II})$. ¿Qué es? Seguramente me estoy perdiendo algo que es obvio. Presumiblemente se trata de tomar un subespacio complementario a un $k$-dim subespacio y, a continuación, utilizando otro lineal mapa de/a.

Answer 1

Encuentra una manera. Para subespacios $V$ $\mathbb{F}_q^n$ hay dos casos:

1. $V$ es un subespacio de $\mathbb{F}_q^{n-1}$
2. De lo contrario, $V$ se determina mediante la selección de una $(k-1)$-dim subespacio $K$ $\mathbb{F}_q^{n-1}$ a ser el núcleo de la proyección de $\pi:\mathbb{F}_q^n\to\mathbb{F}_q$ a de la $n$th coordinar, a continuación, selecciona cualquier elemento $\alpha$ del cociente del espacio de $\mathbb{F}_q^{n-1}/K$ para determinar la fibra $\pi^{-1}(1)=\alpha$.

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Edit: me generalizado de este argumento en esta respuesta para demostrar la $q$-analógico de Chu-Vandermonde de convolución. Esto produce dos versiones de Pascal de la regla como un caso especial (como la convolución $q$-la identidad es "asimétrica," se puede aplicar para $(n-1)+1$ $1+(n-1)$ obtener las dos versiones de la regla).