Problema con la definición de una topología discreta

Question

En la wikipedia he leído que

la topología discreta sobre X se define dejando que todo subconjunto de X sea abierto (y por tanto también cerrado), y X es un espacio topológico discreto si está dotado de su topología discreta

¿"Por lo tanto, también está cerrado"? No pude entender esa parte. Si dejas que cada subconjunto de $X$ para ser abiertos, ¿cómo es que eso los convierte en cerrados? Sé que $\emptyset$ y $X$ son abiertos (por lo tanto, cerrados), llamados "clopen". Pero para un punto $x \in X$ si dejo que se abra en el espacio topológico (tampoco entendí qué es el procedimiento de "dejar", $x \in X$ es claramente cerrado, ya que es un punto), ¿cómo es que se convierte en cerrado?

Answer 1

$A \subseteq X$ es cerrado porque su complemento $X\setminus A$ sigue siendo un subconjunto de $X$ Por lo tanto, abierto.

A este argumento no le importa lo grande que sea $A$ es: puede estar vacío, un solo punto, todo el conjunto, o cualquier cosa intermedia.

Answer 2

Los espacios topológicos discretos son exactamente aquellos en los que cada conjunto de puntos $\{ x\}$ está abierto (¡toma sindicatos!)

Y un buen dato: ¡no siempre es cierto que los puntos sean cerrados! Por ejemplo, tomemos la topología caótica (sólo $\emptyset$ y el conjunto) en cualquier conjunto con más de un punto. Necesitamos un axioma de separación ( $T_1$ ) para decir que cada punto está cerrado.