¿Hay un defecto en "Galois para principiantes"?

Question

Supongo que la siguiente pregunta es sólo para aquellos que por casualidad han leído el texto "Galois para principiantes" de John Stillwell. Aunque el texto es corto, y puede que haya algunas personas admirables que podría ser capaz de leer y comprender lo suficientemente rápido. En cualquier caso, estoy muy agradecido a cualquiera que respuestas.

El objetivo del texto es demostrar que no hay ninguna solución por radicales para polinomios de grado 5 o superior, y el problema que estoy teniendo es que el autor parece haber cometido un error en una prueba a lo largo del camino. La lectura de este texto tan breve como es - está demostrando ser muy difícil para mí, ya que sé muy poco acerca de álgebra abstracta, pero es el más corto de 'prueba' he sido capaz de encontrar.

Lo que me gustaría saber, es si este error que el autor hizo en la final de la ruina de toda la prueba (en el sentido de que habría perdido mi tiempo) o si incluso con esta falla, el autor es capaz de demostrar Abel-Ruffini Teorema.

---

La falla:

(Para el contexto, $x_1,...,x_n$ se refieren a las raíces de un genérico $n$th grado del polinomio)

Teorema (de la página de $4$ de los pdf.). "para cada uno de los radicales de la extensión de $E$ $ℚ(x_1,...,x_n)$ no es un radical de extensión de la $E′/E$ con automorfismos la ampliación de todas las permutaciones $σ$$x_1,...,x_n$."

Prueba. "para cada adhiere el elemento, representado por la expresión $e(x_1,...,x_n)$, y cada permutación $σ$ $x_1,...,x_n$ lindan con el elemento $e(σx_1,...,σx_n)$. Ya que hay sólo un número finito de permutaciones de $σ$, entonces, el campo resultante $E'⊇E$ es también una expansión radical de $ℚ(x_1,...,x_n)$.

Esto le da un bijection (también llamado $σ$) $E'$ el envío de cada una de las $f(x_1,...,x_n)∈E'$ (una función racional de $x_1,...x_n$ y la adherido a los elementos de) a $f(σx_1,...,σx_n)$, y este bijection es claramente un automorphism de $E′$, la ampliación de la permutación $σ$."

Este teorema para un polinomio genérico $P$, pero no es así, ya que algo como esto podría suceder:

Digamos que $(x_1)^2+x_2^2=(x_3)^2$, sin embargo,$(σx_1)^3+(σx_2)^2≠(σx_3)^2$, lo que significa que $σ$ ha asignado el mismo elemento en dos lugares diferentes, lo que significa que $σ$ no puede ser un automorphism. Para un ejemplo concreto vamos a $x_1=i$, $x_2=3^{1/2}$ y $x_3=2^{1/2}$.

Por lo que el teorema no se mantenga para todos los polinomios.

---

Se esta en la final de la ruina de la prueba? O es simplemente insignificantes para considerar los polinomios en los que la falla se produce?

Yo realmente apreciaría cualquier ayuda/pensamientos.

Answer 1

El término "general" tiene un significado técnico aquí. Es decir, estamos considerando un polinomio cuyos coeficientes son puramente formal de las variables, no números específicos. Más precisamente, estamos empezando con el campo de $\mathbb{Q}(a_{n-1},\dots,a_0)$ de funciones racionales en $n$ variables $a_{n-1},\dots,a_0$, y estamos considerando el polinomio $$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$$ whose coefficients are these variables. We then formally extend this field to a field $\mathbb{Q}(x_1,\dots,x_n)$ in which this polynomial has $n$ roots $x_1,\dots,x_n$. It turns out that this extension field is also a field of rational functions, this time with $x_1,\dots,x_n$ as the variables. So since $x_1,\dots,x_n$ son sólo variables formales, no puede ser cualquier polinomio relación entre ellos de la especie que usted está preocupado.