Esta es una tarea problema, para evitar dar la respuesta. Creo que una discusión de mi intento en una prueba sería más apropiado. El problema es el siguiente:
Deje $S$ ser el círculo de radio de la unidad en el plano Euclidiano: $$S = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^{2} + y^{2}=1 \}$$ Demostrar que $S$ es incontable.
Este es mi intento de prueba. No sé si es válido, o si mi lógica, y de eso se trata mi enfoque de la prueba, es la correcta. Comentarios/opiniones/pensamientos de cualquier tipo son bienvenidos.
Deje $G^{+} = \{(x,y)\in G: y \geq0\}$ $G^{-} = \{(x,y)\in G: y \leq 0 \}.$Estos son la parte superior e inferior de los segmentos del círculo unitario.
Observe que $G^{+}\subset S$$ \hspace{1mm}G^{-}\subset S$, lo $S=G^{+} \cup G^{-}.$
Deje $f: G^{+} \rightarrow [-1,1],$ donde $f(x,y)=x$. Esto puede ser pensado como una proyección de la semi-círculo en el $x$-eje.
Ya que la imagen de $G^{+}$ bajo $f$ es igual al codominio; es decir, $f(G^{+})= [-1,1]$, $f$ es surjective.
Ahora, ya que para cada $(x,y) \in G^{+}$ tenemos la cardinalidad $|f(x,y)|=1$, existe una función inversa $f^{-1}:[-1,1] \rightarrow G^{+}$ definido por $f^{-1}(x) = (x,\sqrt{1-x^{2})}$.
Por lo tanto, existe un bijection entre el $G^{+}$ $[-1,1].$
Igualmente tenemos el mismo argumento para $G^{-}.$ Deje $g:G^{-} \rightarrow [-1,1]$
- $ g(G^{-})=[-1,1]$ (surjective)
- $|g(x,y)|=1 \hspace{4mm} \forall (x,y)\in G^{-}$ (uno-a-uno)
- $g^{-1}: [-1,1] \rightarrow G^{-}, \hspace{4mm} g^{-1}(x)= (x,-\sqrt{1-x^{2}})$ (inversa)
la que se muestra la bijection.
Desde el conjunto de los números reales $[-1,1]$ es incontable, como puede ser demostrado por la diagonalización de Cantor, y tenemos $G^{+} {\raise.17ex\hbox{$\scriptstyle\sim$}} [-1,1]$ $G^{-} {\raise.17ex\hbox{$\scriptstyle\sim$}} [-1,1]$, que implica que $G^{+}$ $G^{-}$ son innumerables. Por lo tanto, $S= G^{+} \cup G^{-}$ también deben ser incontables. q.e.d.
Otro enfoque que pensé fue pensar en los semicírculos como los intervalos en su propio derecho, donde la longitud de la parte superior del semicírculo sería $[0,\pi]$ y el intervalo de la parte inferior de semicírculo sería $[\pi,2\pi],$ y supongo que la métrica sería la longitud de arco. Así que, esencialmente, usted toma la longitud del arco y enderezar hacia fuera, pero no sabía cómo acercarse a ella o incluso formalizar. Sin embargo, creo que es esencialmente lo mismo como lo hice en mi prueba.
