Calcular los valores y vectores propios

Question

Tengo esta matriz a continuación, y necesito encontrar los valores propios. \begin {bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 5 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ \end {bmatrix} Esto es lo que he hecho hasta ahora: He utilizado $\det(A-I)=0$ y llegó a esta forma \begin {bmatrix} 2- & -1 & 0 \\ 5 & 2- & 4 \\ 0 & 1 & 2- \\ \end {bmatrix} He hecho algunas simplificaciones:

$(2-)[(2-)(2-)-4]-5(-(2-))=0$

$(2-)[(2-)(2-)-4]-5(-1)=0$

$(2-)[4-4+^2-4+5]=0$

$(2-)[^2-4+5]=0$

$^2(2-)-4(2-)+5(2-)=0$

$2^2-^3-8+4^2+10-5=0$

$-^3+6^2-13+10=0$

o $-(^2-6+13)+10=0$

$- (-(3+{\sqrt 22})) (+(3-{\sqrt 22}))+10=0$

¿Lo estoy haciendo bien y si es así

He comprobado la respuesta en Symbolab y fue $2,2-i,2+i$ ¿Cómo? y ¿qué es? es $i$ ?

Y es la matriz será así cuando quiero calcular el vector propio para $2-i$ ?? \begin {matriz} i & -1 & 0 \\ 5 & i & 4 \\ 0 & 1 & i \\ \end {matriz}

Answer 1

Puede detenerse en el paso $$(2-\lambda)(\lambda^2-4\lambda + 5) = 0.$$

Aquí tienes las raíces $\lambda = 2$ o $\lambda = 2 \pm i$ .

Answer 2

Sucede que, si $\lambda=2$ entonces $-\lambda^3+6\lambda^2-13\lambda+10=0$ . De hecho, $-\lambda^3+6\lambda^2-13\lambda+10=(2-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+5)$ . Las raíces del polinomio $\lambda^2-4\lambda+5$ son complejo números no reales: $2+i$ y $2-i$ .