Intersección entre dos conjugados de un subgrupo maximal.

Question

Deje $G$ ser un no-abelian finito grupo de tal forma que cada apropiado subgrupo de $G$ es abelian. Supongamos $M$ es un subgrupo maximal de a $G$ lo cual no es normal en $G$. Me pidió que muestran que

$\bigcup_\limits{g \in G} gMg^{-1}$

tiene al menos $ 1 + |G|/2 $ muchos elementos.

Podemos mostrar que $N_G(M) = M$$|M| \geq 2$. Yo estaba considerando la intersección entre el $M$ $gMg^{-1}$ donde $g \notin M$. Si la intersección es trivial hemos terminado. Sin embargo, yo no podía probar si es cierto.

Digamos si $g$ es un elemento no trivial en la intersección, entonces podemos encontrar $m$ $m'$ $M$ tal que $m = g m' g^{-1}$. ¿Qué podemos decir acerca de él?

Es la forma correcta de abordar esta pregunta? Muchas gracias.

Answer 1

La pista por Derek casi lo dice todo.

Indicar $M' = M/Z(G)$. Como consecuencia de la $N_G(M)=M$, $g_1M'g_1^{-1}$ y $g_2M'g_2^{-1}$ son subgrupos distintos en $G/Z(G)$ iff su intersección es trivial, esto sucede iff $g_1,g_2$ se encuentran en diferentes cojunto de $M$. Por lo tanto $$\left| {\bigcup\limits_{g \in G} {gM'{g^{ - 1}}} } \right| = \frac{{\left| G \right|}}{{\left| M \right|}}\left( {\left| {M'} \right| - 1} \right) + 1$$ From which you can easily derive $% $ $\left|\bigcup\limits_{g \in G} {gM{g^{ - 1}}} \right| = \left| G \right|\left( {1 - \frac{{\left| Z \right|}}{{\left| M \right|}}} \right) + \left| Z \right| \ge \frac{{\left| G \right|}}{2} + 1$