Este problema viene de Cálculo por Spivak, es decir, en el Capítulo 14- "El Teorema Fundamental del Cálculo".
Supongamos que $f$ es una función derivable con $f(0)=0$$0<f'\le1$. Demostrar que para todos los $x\ge0$ tenemos $$ \int_0^x f^3 \le \left(\int_0^x f\right)^2. $$
Ahora, tengo una (propuesta) de la solución, así que mi pregunta es si las siguientes opciones es correcta.
Sabemos que tanto el l.h.s. y r.h.s. de la desigualdad de empezar de 0, así que se puede demostrar la desigualdad, mostrando que la misma desigualdad se cumple para los derivados de cada lado. (Si ambos comienzan en el mismo valor y se incrementa más rápidamente o a la misma velocidad que el otro, luego de que uno también tendrá un valor mayor o igual que el otro para todos los $x\ge0$.) Por lo tanto, tenemos $$f^3 \le 2f\int_0^x f. $$ If $f=0$ the inequality is clearly satisfied, otherwise we have that $$f^2 \le 2\int_0^x f. $$ We then apply the same logic as before, showing that this inequality holds after differentiating (since, again, both expressions evaluate to 0 when $x=0$). So, we have that $$2ff' \le 2f.$$ We have already taken care of the case that $f=0$ (and the inequality holds anyway for $f=0$) so we end up with $$f' \le 1.$$ Esto se da, por lo que la primera desigualdad es probada.
En cierto modo me siento (por ninguna razón en particular) como parte de esto puede ser incorrecto, es por eso que estoy pidiendo aquí. Así que si alguna parte (o todo) es incorrecta, podría alguien por favor seleccione el error? Si no, genial. Gracias.
