¿Demostrando que $\sqrt{2}$ es irracional con un nivel de matemáticas de un alumno de secundaria?

Question

Así que tengo un amigo, cuyo profesor cuestionado la clase para demostrar que $\sqrt{2}$ es irracional utilizando sólo de matemáticas de la escuela secundaria de nivel.

Nadie logró hacerlo, y tampoco yo (aunque yo no lo pensamos mucho, ya que tengo otras cosas que hacer por el momento), pero todavía soy curioso en cuanto a cómo hacerlo.

Al parecer, la mayoría de la clase de pensamiento acerca de cómo utilizar el teorema de Pitágoras: $$ a^2 + b^2 = c^2$$ And taking $a=b=1$, pero eso no me ayuda en absoluto.

Así que todas las ideas? Sé que la escuela media los niveles varían de país a país, pero vamos a suponer que estamos hablando de SU país para la escuela media.

Answer 1

La geometría fue enseñado después de álgebra elemental en la escuela intermedia, y se centró principalmente en la construcción con una brújula y un borde recto, y así hubiéramos sido capaces de entender esta prueba por el Apostol (aunque tal vez sólo después de un par de lecturas de la misma), que cito aquí:

Esta nota presenta una muy simple prueba de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ que es una variación de la clásica griega prueba geométrica. Por el teorema de Pitágoras, isósceles triángulo rectángulo de borde de longitud 1 tiene hipotenusa de longitud $\sqrt{2}$. Si $\sqrt{2}$ es racional, algunos positivo múltiplo entero de este triángulo debe tener tres lados con número entero de longitudes, y por lo tanto no debe ser menor isósceles derecho triángulo con esta propiedad. Pero en el interior de cualquier triángulo rectángulo isósceles cuyos tres lados tienen número entero de longitudes de que siempre se puede construir un uno más pequeño con la misma propiedad, como se muestra a continuación. Por lo tanto $\sqrt{2}$ no puede ser racional.

De la construcción. Un arco circular con centro en el vértice superior y radio igual a la vertical de la pierna del triángulo se cruza con el hipotenusa en un punto, a partir de la cual una perpendicular a la hipotenusa es dibujado a la horizontal de la pierna. Cada segmento de línea en el diagrama tiene número entero de longitud, y los tres segmentos con doble tick marcas longitudes iguales. (Dos de ellos son tangentes a la circunferencia de la misma punto). Por lo tanto, la menor isósceles triángulo rectángulo con hipotenusa sobre la base horizontal también ha entero lados.

-Tom M. Apostol, la Irracionalidad de La Raíz Cuadrada de Dos) -- Una Prueba Geométrica, American Mathematical Monthly 107, Nº 9 (Nov., 2000), pp 841-842.

Answer 2

Hay una muy sencilla es la prueba por contradicción como han mencionado otros. Supongamos que hay un número racional $\frac{p}{q}$ como $\sqrt 2=\frac{p}{q}$. Al menos uno de $p$ $q$ es un número impar (si ambos son, incluso, podemos reducir la fracción, hasta que uno de ellos es impar). Ahora, el cuadrado de las dos partes de la última ecuación obtenemos esta $2= \frac{p^2}{q^2}$ o $p^2=2q^2$. Desde aquí podemos ver que $p$ debe ser aún (si es que era extraño, que la plaza debe ser impar). $p$ es incluso significa que podemos escribir en un formulario de $p=2k$ donde $k$ es un número entero. Por lo tanto, tenemos $4k^2=2q^2$ o $2k^2=q^2$. Esto significa $q$ debe ser un número par. Contradicción.

Answer 3

Si $\sqrt 2 = a/b\,$ $\, 2b^2 = a^2,\,$ pero $2b^2$ tiene un extraño número de $2$'s en su (único) factorización prima mientras que $a^2$ tiene incluso el número de $2$'s, contradicción.

Comentario $ $ Es suficiente para el uso de $2$-singularidad, es decir, cada natural puede escribirse de forma única en la forma $\, 2^i n\,$ por extraño $\,n.\,$ $\, A= 2^{\large J} a,\ B = 2^{\large K} b\,$ $\,a,b\,$ impar. Por lo tanto $\, A^2\! = 2 B^2$ $\Rightarrow$ $\,2^{\color{#c00}{\large 2J}} a^2 = 2^{\color{#0a0}{\large 1+2K}} b^2.\ $ Pero $\,a,b\,$ impar $\,\color{#f2f}\Rightarrow$ $\,a^2,b^2\,$ extraño demasiado, contra la unicidad (LHS ha $\rm\color{#c00}{even}$ vs HR $\rm\color{#0a0}{odd}$ $2).\,$

Lo anterior muestra cómo el ubicuo de la paridad de la prueba en Vasya la respuesta está íntimamente conectado a la única factorización. Para más información ver esta respuesta.

Answer 4

Esperemos que la siguiente argumento (adaptado de Cauchy)) podría estar en el nivel de secundaria, ya que sólo utiliza las nociones de número entero y la parte decimal de un número.

Podemos demostrar que si $x=\sqrt 2$ es racional, necesariamente debe ser un entero. Como es evidente no cuadrado perfecto es igual a $2$, va a demostrar que $x$ es irracional.

Para esto, considere el conjunto a $S$ de los enteros $n$ tal que $nx$ es un número entero. Si $x$ es racional, igual, decir $\dfrac rs$, este conjunto es not empty desde $sx=r$ es un número entero, por lo $s$ pertenece a $S$.

Deje $q$ ser el menor entero positivo en $S$. Tenga en cuenta que si $y$ es el decimal part de $x$, $qy$ es un número entero: de hecho, $x=1+y$ desde $1<\sqrt 2<2$, por lo que $$qy=q(x-1)=\underset{\text{integer}}{qx}-\underset{\text{integer}}{q}$$ Vamos a denotar $\;q'=qy$.

Reclamo: $\;q'x$ es un número entero.

De hecho,$\; q'x=(qx-q)x=qx^2-qx=\underset{\text{integer}}{2q} -\underset{\text{integer}}{qx}$.

Ahora, como, por definición, una parte decimal es $\;<1$, sabemos que $\;0\le q'=qy <q$. Como $q$ fue elegido para ser el más pequeño entero positivo en $S$, esto implica que $q'=qy$$0$, por lo tanto $y=0$. En otras palabras, si $x$ es racional, no tiene parte decimal, lo que significa que es un número entero.