Demostrar que ${e\over {\pi}}\lt{\sqrt3\over{2}}$ sin utilizar una calculadora.

Question

He estado trabajando sobre una cuestión conocida durante mucho tiempo (esto está "demostrando que $e^{\pi}-{\pi}^e\lt 1$ sin usar una calculadora") durante este tiempo me di cuenta del ${e\over {\pi}}\lt{\sqrt3\over{2}}$.
No tengo ninguna solución hasta ahora. ¿Tienes alguna idea?

Answer 1

Cálculo sin ningún equipo, sólo con paciencia. :-D

$\displaystyle e<\frac{\sqrt{3}}{2}\pi\enspace$ es equivalente a $\enspace\displaystyle \frac{2}{9}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n!} =\frac{2e^2}{9}<\frac{\pi^2}{6}=\zeta(2)$

Caso $\,(A)\,$ :

Tenemos $\enspace\displaystyle \prod\limits_{k=0}^n \frac{k+9}{4}>1\enspace$ todos los $\,n\geq 0\,$ y, por tanto,$\,4^{n+1}8!<(n+9)!\,$ .

De ello se desprende $\enspace\displaystyle \frac{2^{n+1}8!}{(n+9)!}<\frac{1}{2^{n+1}}\enspace$ y con la suma de más de $\,n=0,1,2,…\,$ tenemos

$\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{2^{n+1}8!}{(n+9)!}< \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}}=1\enspace$ , lo que conduce a $\enspace\displaystyle e^2 = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n!} < \sum\limits_{n=0}^7 \frac{2^n}{n!} + \frac{2^9}{8!} \,$ .

Caso $\,(B)\,$ :

El de Euler–Maclaurin fórmula (https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula) nos da una buena aproximación para $\,\zeta(2)\,$ y obtenemos

$\displaystyle \sum\limits_{n=0}^4 \frac{1}{n^2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{50} + \frac{1}{6\cdot 125} - \frac{1}{30\cdot 5^5}<\zeta(2)\,$ .

Casos $\,(A)\,$ $\,(B)\,$ juntos :

Ahora tenemos que demostrar la parte media de la siguiente desigualdad.

$\displaystyle \frac{2e^2}{9} = \frac{2}{9}\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n!} < \frac{2}{9}\left(\sum\limits_{n=0}^7 \frac{2^n}{n!} + \frac{2^9}{8!}\right)<$

$\displaystyle <\sum\limits_{n=0}^4 \frac{1}{n^2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{50} + \frac{1}{6\cdot 125} - \frac{1}{30\cdot 5^5}<\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\,$

o, simplemente, $\enspace\displaystyle \frac{2e^2}{9} < \frac{4658}{2835} < \frac{3701101}{2250000} < \frac{\pi^2}{6}$

Y con $\,4658\cdot 2250000 =10480500000 < 10492621335=2835\cdot 3701101$

el reclamo es a prueba de niños.