GCD de sumas de números potencias consecutivas de n-ésimo

Question

Es un ejercicio fácil para demostrar que todas las sumas de potencias 3 º consecutivos 3 son divisibles por 9. (por ejemplo, inducción o aritmética modular)

Experimentación en Mathematica sugiere que en general, para todos los impares $n\in\mathbb{N}$ los números

$ a ^ n + (a + 1) ^ n + \dots + (a + n-1) ^ n, \qquad a\in\mathbb {N} $

son divisibles por $n^2$. En realidad, la declaración más fuerte que $n^2$ es el GCD parece ser cierto.

¿Cualquier ideas sobre cómo enfocar esto?

Answer 1

Deje $f(a, n) = a^n + (a+1)^n + \cdots + (a+n-1)^n$. Deje $n = 2m+1$. A continuación, basta para mostrar:

En primer lugar, un caso base, $f(-m, 2m+1) = 0$. Esto es simple: la suma es

$$(-m)^{2m+1} + (-(m-1)^{2m+1})) + \cdots + (m-1)^{2m+1} + m^{2m+1}$$

y términos cancelar en parejas, excepto para el medio plazo, que es $0^{2m+1} = 0$.

En segundo lugar, un paso inductivo. Esto es suficiente para mostrar que $f(a, n)$ $f(a+1, n)$ difieren en un múltiplo de $n^2$ y por lo tanto son congruentes mod $n^2$. Pero estas dos cantidades diferentes por adición y eliminación de un término-se han

$$f(a+1, n) - f(a, n) = (a + n)^n - a^n$$

y que quieres mostrar que esto es divisible por $n^2$. Pero esto es sólo

$$ \left( \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} n^k \right) - a^n $$

o, al señalar que $a^n$ $k = 0$ término de la suma,

$$ \sum_{k=1}^n {n \choose k} a^{n-k} n^k $$

Para mostrar que la suma es divisible por $n^2$, usted necesita demostrar que cada término es divisible por $n^2$. Obviamente, los términos con $k \ge 2$. El $k = 1$ plazo es${n \choose 1} a^{n-1} n^1 = n^2 a^{n-1}$, por lo que es divisible por $n^2$.