Probar que hay infinitamente muchos números primos con $666$ en su representación decimal sin Dirichlet ' teorema s.

Question

Un primer satánico es un número primo con $666$ en la representación decimal.

El más pequeño primer satánico es $6661$.

Probar que hay infinitamente muchos números primos satánicos.

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He utilizado el teorema de Dirichlet para el % de progresión de la $10000n+6661$y se hace.

Estoy interesado en soluciones sin el teorema de Dirichlet.

Answer 1

Considerar el conjunto de $S$ de todos los números sin 666 en su expresión base 10. Aquí es un hecho: la suma de $\sum_{s\in S} \frac{1}{s}$ converge. Es realmente bastante fácil de probar, así que te dejo como ejercicio (o google "Kempner serie").

Por otra parte, un resultado famoso de Euler dice que la suma de los recíprocos de los números primos diverge.

Answer 2

Deje $x=666\cdot10^n$; ha $n+3$ dígitos. Considerar el intervalo de $(x,(1+1/666)x)=(666\cdot10^n,667\cdot10^n)$. A continuación, el primer número teorema dice que hay al menos un prime en este intervalo lo suficientemente grande $x$; un primer debe comenzar con el 666 y por lo tanto es satánico.

Concretamente, el uso de Schoenfeld del 1976 resultado que dice que por cada $x\ge2010760$ hay un prime en $(x,(1+1/16597)x)$; ampliamos este intervalo de al $1+1/666$ intervalo de más arriba. Así que hay al menos un satánico prime con $n$ dígitos para $n\ge7$, y el resultado queda demostrado.