Si somos ya que una lista de números de $n$ $11,660$ atentamente, ¿cuál es el valor de $n$?

Question

La Pregunta Completa

Para los enteros positivos $1,2,3,\dots n-1,n$, $11,660$ donde $1,2,3,4,5$ aparecer en las primeras cinco posiciones. ¿Cuál es el valor de $n$?

Mi Trabajo

Primero he considerado todas las alteraciones de la primera $5$, esto es sólo todas las alteraciones de los números enteros $1$$5$. Que es $44$. Voy a decir que $N = 44$ para el resto de la pregunta. Si dejamos $P$ representan a todos los derangments del resto de las $n-5$ números, entonces claramente tenemos $N\times P = 11,660 \iff 44P = 11,660 \implies P = \frac{11,660}{44} = 265$.

Mi Problema

Me parece haber reducido en un simple álgebra ejercicio. Sin embargo, mirando más de cerca hemos $P = 265 = (n-5)! - \binom{n-5}{1}[n-6]! + \binom{n-5}{2}[n-7]! - \binom{n-5}{3}[n-8]! + \cdots (-1)^{n-5}[0!]$ y tenemos que resolver para $n$. Yo no puedo encontrar una manera de cómo resolver para $n$ en esta ecuación. Puede alguien darme alguna ayuda?

Answer 1

Podemos encontrar $m=n-5$ $d_m=265$, donde $d_m$ es el número de derangements de un $m$-elemento conjunto de problemas. Tal vez hay dos maneras de ir sobre esto:

• Calcular $d_i$ $i=1,2,\ldots$ hasta encontrar $d_i=265$. Hay fórmulas recursivas para $d_m$ que facilitan, por ejemplo: $d_m=(m-1) \times (d_{m-1}+d_{m-2})$ y $d_1=0$ y $d_2=1$.

• Calcular que $m! \approx d_m \times e \approx 720$ y luego deducir que $m!=720$. (Esto es quizás menos rigurosa que la primera aproximación, pero usted puede comprobar la respuesta es correcta.)