Homeomorfismo entre $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\}$y $S^n\times\mathbb{R}$

Question

¿Cómo establecer un Homeomorfismo entre $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\}$y $S^n\times\mathbb{R}$?

Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Considere $n=1$ y coordenadas polares.

Answer 2

Considerar el mapa $f:\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\} \to S^n \times \mathbb{R}_{++}$ de $$f(x):=(x/||x||,||x||).$$ It's a homeomorphism, you just need to compose it with a homeomorphism $\mathbb{R}_{++}\to \mathbb{R}$.