Teorema del Diffeomorphism.

Question

Estoy partiendo en la geometría, particularmente no entiendo la notación de $df_x$.

¿Qué es exactamente este mapa lineal? ¿una matriz?

¿Puede alguien por favor una analogía entre ésta y la diferenciación básica "secundaria"?

¿es decir los polinomios?

Answer 1

La notación $df_x$ es la intención de sugerir una analogía con las formas diferenciales y el habitual derivado en $\mathbb{R}^n$. Para ver esto, en primer lugar, calcular, por definición de lo que debe ser el diferencial de la "coordinación de las curvas", es decir, la imagen bajo una parametrización de su colector de las curvas

$f_i: t\mapsto (u_1,u_2,\ldots, t, u_n)$ donde todos los $u_i$ son constantes.

el diferencial de $df_i$ es simplemente la derivada de la función que ignora todas las coordenadas, pero el $i$th, es decir, $\partial/\partial x_i$. Ahora pregúntate a ti mismo, en términos de espacios vectoriales, en $\mathbb{R}^n$, ¿cuál es el doble de la proyección a la $i$th coordinar? En la notación de formas diferenciales, esta sería la forma $dx_i$. Pero, también se tienen (por parte de la definición de la diferencial para los colectores) $df_i=dx_i$.

Ahora, trabajar de lo que los coeficientes de la matriz $df$ para un general de la función debe ser. Usted encontrará que son todo en términos de la $\partial/\partial x_i$. La notación $df$ subraya.

Answer 2

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$Considera el caso de $n = 1$, es decir, el valor real de las funciones de una variable. Si $f$ es diferenciable en un punto de $a$, $f'(a) = df_{a}$ no es "realmente" un número, sino una transformación lineal del espacio de la tangente $T_{a} \Reals$ a el espacio de la tangente $T_{f(a)} \Reals$, es decir, la multiplicación por $f'(a)$. (La función de cálculo estudiantes alegremente aprender a llamar a $f'$ es de hecho una transformación lineal con valores de la función, o una matriz de valores de la función si fijamos un sistema de coordenadas.)

Dejando $\Delta x = x - a$ $\Delta y = y - f(a)$ el valor de las coordenadas de $T_{a} \Reals$$T_{f(a)} \Reals$, respectivamente, de la transformación lineal $df_{a}$ actos $$ \Delta y = df_{a}(\Delta x) = f'(a)\, \Delta x. $$ Esta ecuación expresa el aproximado de la linealidad de la $f$ $a$ . Cálculo de los estudiantes se encuentran con este como la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $y = f(x)$$\bigl(a, f(a)\bigr)$: $$ y - f(a) = f'(a) (x - a),\quad\text{o}\quad y = f(a) + f'(a)(x - a). $$

Si $f$ es suave y invertible en algún intervalo $J$, y si $f^{-1}$ es también suave (es decir, $f$ es un diffeomorphism de$J$$f(J)$), luego $$ x = (f^{-1} \circ f)(x)\quad\text{para todos los $x$$J$.} $$ Usando la regla de la cadena para diferenciar a $a$, $$ 1 = (f^{-1})'\bigl(f(a)\bigr) \cdot f'(a), $$ o $$ (f^{-1})'\bigl(f(a)\bigr) = \frac{1}{f'(a)} = \bigl(f'(a)\bigr)^{-1}. $$ En particular, $df_{a} = f'(a)$ es invertible.

Answer 3

Deje $A$ ser abierta en $\Bbb{R}^{n}$; deje $f: A \to \Bbb{R}^{m}$; deje $a \in A$. A continuación, $f$ se dice diferenciable en a $a$ fib hay algunos lineal mapa de $\Bbb{R}^{n} \to \Bbb{R}^{m}$, que se denota por a $df_{a}$, de tal manera que $$ |x-a|^{-1}[ f(x) - f(a) - df_{a}(x-a)] \a 0 $$ como $x \to a$; en este caso, el mapa de $df_{a}$ es llamado ("el" es debido al hecho de que $df_{a}$ sólo existe si $df_{a}$ es único) derivado de la $f$$a$. La matriz Jacobiana de $f$$a$, que se denota por a $Df(a)$, se define como la matriz de $df_{a}$ con respecto a las bases habituales.

De ahí que algunos autores no distinguen $df_{a}$$Df(a)$; la confusión puede muy raro surgir en la mayoría de los casos.

Si $n=m=1$, $Df(a)$ es, naturalmente, identificado con un punto de $\Bbb{R}$, que se denota por a$f'(a)$, y se llama la derivada de $f$$a$; esto es lo que comúnmente se ve en primaria univariante de cálculo.

La de arriba es una de las formas de explicar.

Si $I: \Bbb{R}^{n} \to \Bbb{R}^{m}$ es la identidad y si $a \in \Bbb{R}^{n}$, $I$ es lineal; por lo tanto $$ |x-a|^{-1}[I(x) - I(a) - I(x-a)] = |x-a|^{-1}\cdot 0 = 0 $$ como $x \to a$; este argumento se aplica a todos los $a \in \Bbb{R}$, por lo que tenemos $dI_{a} = I$ todos los $a \in \Bbb{R}^{n}$.